PDA

Arată versiune ntreagă : putina matematica



Pagini : [1] 2

02.01.2007, 10:45
1=2 ? Presupunem ca : b=a 1.)Inmultim cu a,deci ab=a2 (nota:a2 sau b2 inseamna a patrat,respectiv b patrat) 2.)Scadem b2,deci ab-b2=a2-b2. 3.)Dam factor comun,deci b(a-b)=(a+b)(a-b). 4.)Impartim prin (a-b),deci b=a+b. 5.)Inlocuim pe b cu a (s-a dat la inceput b=a),deci a=a+a. 6.) a=2a. 7.)Impartim prin a,deci 1=2. Unde e greseala?

06.01.2007, 01:08
Impartirea prin zero nu este permisa.Deci greseala este la punctul 4.,unde s-a impartit prin zero (a-b=0,pentru ca b=a). Deaceea concluzia este gresita. Propun sa venim si cu alte probleme simple,pentru a ne improspata cunostintele.

09.01.2007, 12:17
In urma cu vreo doua mii cinci sute de ani,pe undeva prin sudul Italiei a trait un matemetician celebru.El a descoperit,intre altele,o teorema care ii poarta numele si care a devenit foarte populara in toate veacurile care au urmat.Chiar si in zilele noastre,nu exista cineva care sa fi trecut prin bancile scolii(chiar si daca nu a terminat liceul) sa nu o cunoasca,sau macar sa fi auzit de ea.Haideti sa o scoatem si noi putin de la naftalina si sa o folosim,in timp ce rezolvam aceasta problema simpla: Intr-un triunghi dreptunghic o cateta este egala cu 12,iar ipotenuza cu 13.Sa se afle cealalta cateta. Succes !

sorin
09.01.2007, 16:58
Nu prea vad care e smecheria aici.smileys/smiley75.gifNu e totusi prea simpla, chiar si pentru "incalzire"?

10.01.2007, 12:49
Da,Sorin.Intr-adevar este prea simpla.Eu ma ghidasem dupa faptul ca la problema de dinainte-putin mai complicata- nu a raspuns nimeni.

12.01.2007, 16:16
O problema.


Din care punct de pe suprafata pamantului poate un om sa mearga 12 km spre sud,apoi 12 km spre est,apoi 12 km spre nord si sa ajunga inapoi in punctul de la care a plecat?


Raspunsul uzual este Polul Nord. In realitate insa,pamantul are si alte puncte de la care se poate face o astfel de calatorie.Va invit sa le gasiti !

14.01.2007, 06:15
Teoretic,ecuatorul este cercul care inconjoara pamantul la mijlocul lui.Mergand spre nord sau spre sud de la ecuator,in mod progresiv cercuri de latitudine mai mici vor inconjura pamantul pana ce vor atinge punctele polilor Nord sau Sud.Undeva in apropiere de Polul Sud,trebuie sa fie un cerc de latitudine a carui circumferinta este exact 12 km.Si trebuie sa fie un al doilea cerc de latitudine exact 12 km nord de primul cerc.Sa presupunem ca un om isi incepe calatoria de la un punct oarecare de pe al doilea cerc.El merge 12 km spre sud si ajunge pe primul cerc a carui circumferinta este 12 km.El merge 12 km spre est.Asta inseamna ca el parcurge intregul cerc de 12 km.Apoi el merge 12 km spre nord,ajungand la punctul lui de plecare.

19.01.2007, 11:56
O problema pentru mai avansati...


Se da patrulaterul ABCD,in care unghiul A este egal cu unghiul D si egal cu 80 de grade(A=D=80 grade). Sa se afle celelalte doua unghiuri ale patrulaterului(B si C),stiind ca diagonala AC face cu latura AB un unghi de 20 de grade,iar diagonala DB face cu latrura DC un unghi de 30 de grade.

21.01.2007, 15:34
Din sapte mii de forumisti,nici un iubitor de matematica...?!

21.01.2007, 16:43
Kirk, haide ca iti raspund eu. B=C=100 grade.


Eu am fost pasionat de matematica in liceu si faculta...dar acum am alte pasiuni...dehsmileys/smiley1.gif

22.01.2007, 00:09
AdyC,apreciez gluma,dar incearca si sa rezolvi problema,pentru ca este doar de nivel de liceu.

deedee
22.01.2007, 18:36
Te referi la Pitagora?Cred ca a fost grec nu roman....Iar patrulaterul tau ABCD nu e cumva un trapez isoscel?

23.01.2007, 10:51
Deedee,Pitagora a fost grec,intr-adevar,dar a trait in Italia de sud.


In ceea ce priveste patrulaterul,nu,nu este trapez isoscel.Daca ar fi fost asa,unghiurile alea facute de diagonale cu laturile nu ar fi unul de 20 si altul de 30 de grade,ci ar fi trebuit sa fie egale.Oricum,apreciez ca te interesezi.

29.01.2007, 17:21
La problema cu patrulaterul,va spun raspunsul:B=130 grade si C=70 grade.Va las placerea sa gasiti demonstratia.

31.01.2007, 03:05
kirk, </span>daca as fi din nou in scoala, cu tine in banca as vrea sa stausmileys/smiley36.gif

31.01.2007, 14:13

07.02.2007, 14:27
De ceorice numar la puterea 0 este egal cu 1? Insasi notiunea de putere zero pare greu de inteles.Stim ce inseamna puterea 2-a(72=7x7=49),puterea a 3-a(73=7x7x7)s.a.m.d.Chiar si puterea 1-a o intelegem-este numarul insusi,neinmultit cu nimic(7 la p.1=7).Dar cum ar veni un numar la p.0?Nmarul inmultit de cate ori?Sau inmultit cu cine?Pare ciudat.Dar sa nu ne miram prea mult,pentru ca in matemetica exista si puteri fractionare.Astfel,7 la p. 1/5 are sens;si anume trebuie gasit numarul care inmultit cu el insusi de 5 ori sa ne dea 7(desigur,nu il vom afla prin incercari,ci il vom gasi in tabele).Si exista si puteri zecimale,7 la p. 1,8;12 la p. 0,143 s.a.m.d.Mare incalceala!Dar sa revenim la puterea zero.Cand avem de impartit doua puteri ale aceluiasi numar,puterile se scad.Astfel,7 la p. 25 :7 la p. 23 =7 la p.(25-23)=72.Daca cele doua puteri sunt egale,atunci se obtine puterea 0.Astfel,7 la p.25:7 la p. 25=7 la p. (25-25)=7

dorianos
07.02.2007, 18:03
[QUOTE=kirk] ....Astfel,7 la p.25:7 la p. 25=7 la p. (25-25)=7

08.02.2007, 14:27
Ma bucur,dorianos,ca mai da cineva cu click-ul si pe aici.

09.02.2007, 18:26
Ce ti-e si cu logaritmii astia naturali! Cuvantul logaritm suna cam bombastic,insa in realitate nu este mare filozofie.Simplu,este o operatie inversa ridicarii la putere.Astfel,daca 2 la puterea 5 este egal cu 32,spunem ca logaritm in baza 2 din 32 este 5.La fel,log.in baza 10 din 1000 este 3,iar log.in baza 7 din 49 este 2.Dar ce este un log. natural?Dupa nume,te-ai astepta sa fie un log. cu baza un numar natural(intreg).Da de unde!Nu numai ca nu este un numar intreg,dar nu este nici macar un numar rational.Este un numar irational,pentru ca are zecimale care merg pana la infinit(2,71828...si zecimalele continua pana la infinit).Si tocmai asta a fost ales ca baza pentru un log.,care are aplicatii(teoretice)in matematica,si inca pe scara larga.Comedie mare!Matematicienii l-au botezat "e".Si cine este de fapt acest "e"?Este limita unui sir.Auzi dom'le!Da,un sir foarte ciudat,si anume (1+1/n) totul la puterea n.Deci limita acestui sir cand n tinde spre infinit.Sa dam lui n o valoare,sa zicem 5.Expresia va fi (1+1/5) la puterea 5;adica (1+0,2)la p. 5,sau 1,2 la p. 5=2,4883...Daca dam lui n o valoare mai mare,10;50;200 s.a.m.d.,valoarea expresiei mai creste,dar nu prea mult.Ea nu va ajunge niciodata la 3.De fapt,s-a calculat ca ea este(cand n tinde spre infinit) tocmai acel numar despre care am scris mai sus,adica 2,71828...cu un numar infinit de zecimale.Acesta este baza logaritmului natural.Un numar irational!De fapt,noi mai lucram cu numere irationale.Numarul "pi"(de cate ori se cuprinde diametrul cercului in circumferinta lui) este irational 3,14159...si zecimalele nu se mai termina.Chiar si lumea asta este uneori irationala.Pornesc razboaie dom'le,in loc sa se aiba ca fratii.Iar unii spun ca nu este Dumnezeu.Sa dai sa fugi!

17.02.2007, 08:21
Cum se scrie un numar in sistemul binar


Simplu. Dar mai intai sa observam ca numerele, asa cum le stim noi, sunt in sistemul zecimal. De ce? Pentru ca se au in vedere puterile lui 10. Astfel, numarul 3785 se scrie asa pentru ca el contine 3 grupe de cate o mie(103), 7 grupe de cate o suta(102), 8 grupe de cate zece(10 la puterea 1-a) si 5 unitati (10 la puterea 0)


Urmarind un rationament similar, vom scrie numere si in sistemul binar. De data aceasta,vom urmari puterile lui 2. Sa luam un exemplu. Numarul 201 in sistem binar va fi: 1100101. De ce?


Pentru ca el este compus din 1 grupa de 2 la puterea 7-a(128), 1 grupa de 2 la puterea 6-a(64), 0 grupe de 2 la puterea 5-a(32), 0 grupe de 2la puterea 4-a(16), 1 grupa de 2 la puterea 3-a(8), 0 grupe de 2 la puterea 2-a(4) si 1 grupa de 2 la puterea 0(1).


Intr-adevar, numarul 201 este compus din 128+64+8+1.


Nota:Eu nu scriu toate astea pentru cei de pe forum care sunt buni la matematica. Stiu ca sunt multi care, nu numai ca au terminat liceulReal, dar au urmat si facultati tehnice, deci se pricep. Ei pot sa ignore acest topic sau, mai bine, sa ma corecteze daca gresesc, ori sa vina cu completari.

18.02.2007, 16:23
Matematica in lumea plantelor?


Da. Ati auzit de unghiul de aur? Dar de sirul lui Fibonacci? Unghiul de aur este un unghi de aporximativ 137,5

21.03.2007, 15:18
Unele probleme par extrem de complicate la prima vedere, in realitate insa fiind foarte usor de rezolvat. Ne trebuie doar simtul observatiei. Exact ca si la problemele de sah, trebuie sa gasim prima mutare, ca restul vin de la sine. Ce ati zice, de exemplu, daca vi s-ar cere sa decideti care numar este mai mare: 2 la puterea 51 sau 3 la puterea 34? Pare extrem de complicat, daca nu chiar imposibil. Cine sa se apuce sa ridice numerele 2 si 3 la puterile respective! Ar trebui enorm de multtimp; plus de asta, s-ar ajunge la cifre astronomice, care apoi ar trebui comparate. Dar sa observam ca 51 se mai poate scrie ca 3x17, iar 34, ca 2x17. Astfel,problema se reduce la a compara numerele 2 la puterea (3x17) si 3 la puterea (2x17). Sau (23)la puterea 17 si (32) la puterea 17. Adica 8 la putera 17 si 9 la putera 17. Aceste doua numere se pot compara usor, pentru ca puterea este aceeasi(17), iar 9 este mai mare decat 8.


Deci, 3 la puterea 34 este mai mare decat 2 la putera 51.


Matematica este buna oricand, nu numai cand suntem la scoala. Ea ne ajuta sa ne formam spiritul de observatie, care ne este util in multe aspecte ale vietii.

28.03.2007, 01:11
Cum se spune in engleza "patrulater inscriptibil"? Eu m-am straduit sa aflu, dar nu am reusit. Patrulater stiu, dar nu-l gasesc pe "inscriptibil". Deci nu inscris (inscribed), ci inscriptibil; care poate fi inscris in cerc.

02.04.2007, 06:27
inscriptibil=inscribable

1. patrulater - quadrangle
2. patrulater - quadrilater
3. patrulater - quadrilateral
4. patrulater articulat cu laturi egale - isosceles crank mechanism
5. patrulateral - quadrilateral
6. patrulateral,dreptunghiular - quadrilateral

02.04.2007, 17:55
tamara,great! Asta era cuvantul pe care il cautam-inscribable...mersi mult...si atata l-am cautat!...si pe atatia am intrebat!

20.04.2007, 14:28
Cum se poate duce tangenta la o curba intr-un punct dat?


Nu foarte greu. Pai daca curba respectiva este un cerc, atunci este simplu. Unim M (punctul de pe cerc)cu O (centrul cercului) si apoi ducem in M o perpendiculara pe raza MO. Aceea este tangenta.


Dar cum facem daca curba respectiva este altceva, nu cerc, sa zicem, parabola sau hiperbola sau evolventa...? Atunci este putin mai complicat. Dar nu ne dam batuti.Consideram curba y=f(x). O reprezentam grafic intr-un sistem de coordonate XOY.Fie A de coordonate a si f(a)punctul de pe curba in care vrem sa ducem tangenta. Ca sa ducem tangenta la curba in punctul A, vom incerca sa aflam unghiul pe care aceasta tangenta trebuie sa il faca cu orizontala. Unghiul nu-l putem afla direct, dar putem afla una din functiile trigonometrice ale acestui unghi, ceea ce ne va conduce la aflarea unghiului. Sa vedem. Ducem noi prin A o tangenta aproximativa (dupa ochi) la curba. Aceasta dreapta (ca nu este de fapt tangenta) va mai intersecta curba inca intr-un punct, foarte apropiat de A. Sa notam acest al doilea punct cu M. Va avea si el niste coordonate, x si f(x). Prin A ducem o orizontala, iar din M coboram o verticala. Acestea doua se vor intersecta si se va forma acolo un mic triunghi dreptunghic, cu ipotenuza AM. Cele doua catete ale triunghiului vor fi una x-a, iar cealaltaf(x)-f(a). Tangenta trigonometrica aunghiului din Ase va afla impartind aceste doua catete una la cealalta. Deci, tg A=f(x)-f(a)/x-a. La limita, cand M tinde catre A, acest raport ne va da exact tangenta trigonometrica a unghiului cautat.


Sa luam un exemplu. Sa luam exemplul clasic de parabola y=x2. Raportul despre care vorbeam mai sus va fi x2-a2/x-a, adica (x+a)(x-a)/x-a). Simplificam si obtinem tg A=x+a. La limita, cand cele doua puncte se confunda (x=a), tg A=2x. Am obtinut deci o formula, tg A=2x, valabila pentru oricare punct A de pe parabola y=x2. Concret:Sa presupunem ca vrem sa ducem tangenta geometrica la curba y=x2 in punctul A de coordonate 3 si 9 (x=3 si y=9). Cum facem? Aflam mai intai tangenta trigonometrica a unghiului, cu formula de mai sus (tg A=2x). Deci, tg A=2x3=6. Ne uitam in tabelele trigonometrice si aflam unghiul al carei tg este 6.Odata ce am aflat unghiul, problema este rezolvata. In punctul A, ducem o linie orizontala, care va fi una din laturile unghiului, apoi construim unghiul pe care tocmai l-am aflat mai sus si cea de a doua latura aacestui unghiva fi tocmai tangenta geometrica la curba in punctul A.





Sper ca nu s-a uitat de nota pe care am scris-o eu in postarea din 17 februarie.

06.06.2007, 12:26
Ati reflectat vreodata asupra capacitatii creierului uman de a stapani domeniul abstract al matematicii? Matematica nu esate un lucru pe care il gasesti pe jos in curtea din spatele casei. Ea este produsul gandirii omenesti. Totusi, daca ne intrebam in ce domenii se foloseste cel mai mult matematica, putem spune ca in fizica particulelor si in astrofizica, domenii de baza ale stiintei care nu au nimic de-a face cu viata de zi cu zi. Ce inseamna acest lucru?


Capacitatea noastra de a face matematica nu este un simplu accident, un detaliu banal sau un produs secundar al evolutiei.

AndaF
08.06.2007, 19:33
Imi place subiectul, Kirk - keep on going! smileys/smiley32.gif


P.S. Aticole/cursuri Bibleoteca ASE on line ( economie, matematica, cibernetica etc)


http://www.ase.ro/biblioteca/biblioteca1.asp?id=24

AndaF
08.06.2007, 19:54
Inca ceva


http://www.mateonline.net/algebra.htm (http://www.mate&#111;nline.net/algebra.htm)


Definitia matematicii


http://ro.wikipedia.org/wiki/Matematic%C4%83

13.06.2007, 12:43
Stiati ca, daca vreti sa adunati primele zece patrate perfecte, adica:12 + 22 + 32 +......102, puteti sa faceti asta intr-un timp relativ scurt? Iata cum: Inmultiti pe 10 (ultimul termen al sumei) cu (10+1), si cu (20+1); apoi, rezultatul il impartiti la 6. Deci, (10x11x21):6, respectiv 2310:6=385


Ati ghicit, exista o formula pentru suma primelor n patrate perfecte, si anume


12 + 22 +32 +......n2 = [n(n+1)(2n+1)]:6


Ce mult se simplifica callculul cand cunoastem anumite formule!

03.07.2007, 18:40
Sa presupunem ca avem 4 obiecte de 4 culori diferite- sa zicem, albastru (a), verde (v), galben (g), si rosu (r). Si vrem sa facem combinatii da cate doua obiecte. Cate astfel de combinatii se pot face? Pai sa vedem: 1. (a,v); 2. (a,g); 3. (a,r); 4. (v,g); 5. (v,r); 6. (g,r). Deci, 6 combinatii. Dar cate combinatii de cate 3 obiecte se pot face? Sa vedem: 1. (a,v,g); 2. (a,v,r); 3. (a,g,r); 4. (v,g,r). deci, 4 combinatii.


Dar daca avem 10 obiecte diferite si vrem sa facem combinatii de cate 2, cate astfel de combinatii se pot face? Ne-ar lua foarte mult timp ca sa aflam asta prin incercari. Dar putem afla in felul urmator: Inmultim ultimele 2 numere 10x9=90, apoi inmultim primele 2 numere 1x2=2 si impartim cele doua rezultate 90:2=45. Deci se pot face 45 de combinatii. Daca vrem sa stim cate combinatii de 10 obiecte luate cate 3 se pot face, procedam in felul urmator: 10x9x8=720, 1x2x3=6 si apoi 720:6=120. Deci se pot face 120 de combinatii.


Acelasi rationament il folosim pentru a aflanumarul oricaror combinatii dorim. De exemplu: Avem 20 de obiecte si vrem sa facem combinatii de cate 4. Cate combinatii se pot face? Inmultim ultimele 4 numere 20x19x18x17=116280, apoi inmultim primele 4 numere 1x2x3x4=24 si impartim cele doua rezultae 116280:24=4845. Deci se pot face 4845 de combinatii.


Simplu, nu?

Raven
03.07.2007, 23:27
Sa luam un exemplu. Sa luam exemplul clasic de parabola y=x2. Raportul despre care vorbeam mai sus va fi x2-a2/x-a, adica (x+a)(x-a)/x-a). Simplificam si obtinem tg A=x+a. La limita, cand cele doua puncte se confunda (x=a), tg A=2x. Am obtinut deci o formula, tg A=2x, valabila pentru oricare punct A de pe parabola y=x2.


Am inteles ca te-ai referit la (x2-a2)/(x-a) si nu la x2-a2/x-a.


x=a =&gt;x-a=0 =&gt; (x2-a2)/(x-a)=0/0, exceptie


Nu se poate simplifica cu (x-a) daca x=a.


Poate mi-a scapat ceva?

04.07.2007, 11:25
Raven, bine ai observat ca trebuiau puse intre paranteze. Deci, intr-adevar, trebuia scris (x2-a2) in loc de x2- a2 si (x-a) in loc de x-a


In ceea ce priveste simplificarea, ea se poate face, pentru ca se face inainte ca x sa fie egal cu a. Deci, in general expresia algebrica (x2-a2) se mai poate scrie (x-a)(x+a) sau, cum se spune in cuvinte, diferenta a doua patrate este egala cu produsul dintre suma si diferenta numerelor. Deci daca vom imparti expresia (x-a)(x+a) la (x-a), obtinem (x+a). Si abia acum vorbim de trecerea la limita, adica il facem pe x sa tinda catre a.


Oricum, ma bucur ca te-ai uitat atent. E important sa nu se strecoare greseli.

Raven
05.07.2007, 01:14
OK, am inteles. Eu ziceam ca natura lui x s-a schimbat si nu intelesem logica. Adica x e considerat ca fiind infinit de aproape de o constanta "a", dar numai de la un moment dat in colo.

CameliaXX
25.07.2007, 18:35
Din sapte mii de forumisti,nici un iubitor de matematica...?!


Cine are timp de matematica? As vrea sa ma uit pe problemele tale dar nu am timp...

mirabela
26.07.2007, 05:50
Cine ma ajuta sa rezolv urmatoare problema ?


Luam o minge de ping-pong pe care o inconjuram cu un fir de sfoara ( pe circumferinta- adica pe unde ar fi ecuatorul ) si notam lungimea sforii , apoi facem acelasi lucru cu Pamantul ( teoretic ) si notam lungimea celei de-a doua sfori. Apoi la cele doua sfori adaugam un metru de sfoara si refacem inconjurul , de data asta sfoara va fi la o oarecare distanta de sfera. In care din cazuri sfoara se departeaza la o distanta mai mare de suprafata ?

Raven
26.07.2007, 05:56
Aceeasi distanta in ambele cazuri: 1/2pi [m] ~ 16 cm.


Considerand ca mingea de ping-pong si Pamantul sunt sferice.

mirabela
26.07.2007, 06:18
Corect ! Ce repede ai rezolvat problema smileys/smiley1.gif!

Raven
26.07.2007, 06:20
Daca e nevoie de demonstratie sa-mi spui.

mirabela
26.07.2007, 08:00
Am gasit demonstratia si totusi asa de paradoxal mi se pare ...

Raven
26.07.2007, 23:23
Pare paradoxal datorita tendintei de a face o comparatie gresita. Corect este sa se compare diferentele intre raze: diferenta intre razele perechii de cercuri relative la mingea de ping-pong fatza de diferenta intre razele perechii de cercuri relative la Pamant. Adica (r2-r1) fatza de (R2-R1) si nu altceva.


l2 = l1 + 1 [m] si L2 = L1 + 1 [m]


2pi*r2 = 2pi*r1 + 1 [m] si 2pi*R2 = 2pi*R1 + 1 [m]


r2 = r1 + (1/2pi) [m] si R2 = R1 + (1/2pi) [m]


unde r1 &amp;r2 se refera la sfoara folosita pt. mingea de ping-pong si R1 &amp;R2 se refera la sfoara folosita pt. Pamant.

27.07.2007, 15:50
Frumoasa demonstratia, Raven! Si eu de cand asteptam sa gasesc niste iubitori de matematica! si voi nu ati spus nimic pana acum (tu si mirabela). Si se pare ca si lui CameliaXX ii place, si poate si lui AndaF. Great!

mirabela
28.07.2007, 10:09
111 + 1 = 1000


Adevarat sau fals ?

Raven
28.07.2007, 10:19
111 + 1 = 1000

Adevarat sau fals ?
Depinde.

Ce sistem de numeratie ai folosit? &lt;wink&gt;

Adevarat in binar.
Fals in zecimal.
Fals in hexazecimal.

mirabela
30.07.2007, 06:49
Asa e, in sistemul binar e adevarat . Si in oricare alt sistem de numeratie e fals.

Raven
30.07.2007, 07:04
111 [binar] = 7 [zecimal]


1000 [binar] = 8 [zecimal]


1 [binar] = 1 [zecimal]

mirabela
30.07.2007, 07:39
Sau daca numaram ca si cum nu ar exista decat doua cifre : 0 si 1 (adica sistemul binar):


0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010...

Raven
30.07.2007, 10:28
Aia e numaratoare intuitiva (facuta corect).

Explicatia riguroasa sta in modul in care a fost conceput sistemul de numeratie binar (in baza 2): centrat pe puterile lui 2 (2^0, 2^1, 2^2 etc.).

111 = 0111 = 1*(2^0) + 1*(2^1) + 1*(2^2) + 0*(2^3) = 7

1000 = 0*(2^0) + 0*(2^1) + 0*(2^2) + 1*(2^3) = 8

1 = 0001 = 1*(2^0) + 0*(2^1) + 0*(2^2) + 0*(2^3) = 1

In binar: 111 + 1 = 0111 + 0001 = 1000

mirabela
31.07.2007, 07:34
Aia e numaratoare intuitiva (facuta corect).




Sincera sa fiu nu cunosc aceasta expresie, pentru mine e numaratoare si gata. De fapt orice sistem de numeratie este o conventie in care folosesti atatea simboluri pentru cifre cate vrei. De exemplu in baza 8 folosesti 8 cifre ( de la 0 la 7 ). Iar in baza 16 folosesti 16 cifre ( de la 0 la 9 plus cateva litere ( de la A la F ) si asta e tot o conventie pentru ca nu existau alte simboluri pentru cifre ). Cred ca pentru un copil care abia invata sa numere ar fi foarte usor sa invete intr-un alt sistem decat cel zecimal.

Ana Stabell
31.07.2007, 08:10
smileys/smiley24.gif


kirk inainte de a ma prinde in jocurile tale numerice am o intrebare: ce-ti venii sa postezi prima problema? Nu mi-o lua in nume de rau insa nu inteleg daca pur si simplu iti trebuia rezolvarea problemii sau pur si simplu ti sa parut interesanta/amuzanta problema. In orice caz titlul ar fi trebuit sa fie "matematica distractiva" deoarece problemele au o oarecare ironie in ele si ar fi fost mai usor sa deslusesti raspunsu stiind ca "e ceva la mijloc".


Acestea fiind zise orice romana care se respecta si care a terminat MACAR liceul IN ROMANIA ar fi trebuit sa stie raspunsu la prima problema. NU pt ca s-a dat a=b ci pt ca NU SE POATE IMPARTII O ECUATIE DE GENU LA ORICE COMBINATIE DE NECUNOSCUTE FARA A APLICA CONTITIA CA ACEA COMBINATIE SA FIE DIFERITA DE ZERO.


Cat despre ultima problema postata de tine si cea postata de Mirabela nu va pot da un raspuns deoarece de cand ma stiu sistemul binar si vesnica problema de genul celei cu 2 trenuri si musca nu le inteleg si pace. Deci unchiul meu prof de mate si fizica si tata inginer mi le-au explicat de 100 de ori si TOT NU LE INTELEG. Blocaj mental cred....smileys/smiley18.gif


Astept cu nerabdare noi probleme!smileys/smiley17.gif

Raven
31.07.2007, 10:32
Sincera sa fiu nu cunosc aceasta expresie, pentru mine e numaratoare si gata. De fapt orice sistem de numeratie este o conventie in care folosesti atatea simboluri pentru cifre cate vrei. De exemplu in baza 8 folosesti 8 cifre ( de la 0 la 7 ). Iar in baza 16 folosesti 16 cifre ( de la 0 la 9 plus cateva litere ( de la A la F ) si asta e tot o conventie pentru ca nu existau alte simboluri pentru cifre ). Cred ca pentru un copil care abia invata sa numere ar fi foarte usor sa invete intr-un alt sistem decat cel zecimal.
Si notele muzicale tot o conventie sunt. Ca siunitatile de masura: gradele Celsius/Fahrenheit/Reaumur, metrul, gramul etc.

Ce ziceam eu este ca de ce sa numeri 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111,... cand se poate si (gresit) asa: 0, 1, 01, 10, 100, 010, 011, 101?
Deci trebuie o regula (o conventie) care ilustreaza o anumita logica.

E adevarat, la copii de regula metodele intuitive merg mai bine decat cele analitice.

31.07.2007, 16:58
Ana Stabell, bine ai venit pe topicul asta! Pai, pentru inceput incearca, daca vrei, problema pe care am postat-o eu in 19 ianuarie (pag. 1), cu patrulaterul.

Ana Stabell
01.08.2007, 05:15
smileys/smiley18.gif


Incerc sa nu trishez insa m-am impotmolit pt. ca nu-mi mai aduc aminte care era regula unghiurilor in triunghuri opuse la varf. Si cred ca de acolo imi iese a doua exuatie pt a afla cele 2 bucatele de unghi x respectiv y in triunghiul MBC (M fiind intersectia diagonalelor). Astfel incat unghiul B= 50+x iar C=40+y. Pana reusesc io sa-mi storcocesc creierii indeajuns sa-mi aduc aminte te rog sa-mi zici macar daca sunt pe drumu cel bun...smileys/smiley9.gif

mirabela
01.08.2007, 08:39
Si acum o problema care tine de fizica si la care ma gandesc de mult timp (intrebare pusa de un copil ) : se poate merge cu bicicleta pe o banda rulanta ? La intrebarea asta chiar nu stiu sa raspund.

01.08.2007, 11:25
Ana Stabell, triunghiurile opuse la varf nu au nici o regula speciala, afara de faptul ca unghiurile opuse la varf sunt egale (avand laturile in prelungire). Imi pare rau ca trebuie sa iti spun, dar nu esti pe drumul cel bun. Iti fac un favor. Iti dau voie sa intrebi pe tata sau pe unchiul (!).


mirabela, se poate, cum sa nu. Daca se merge in acelasi sens cu banda, atunci viteza rezultanta va fi suma celor doua. Daca se merga in sens invers, atunci diferenta celor doua. (P.s. Incearca si tu problema cu patrulaterul).

Raven
01.08.2007, 11:52
RE: bicicleta si banda rulanta.

Conteaza si ce fel de banda rulanta e: la orizontala (gen covor rulant ca la aeoroporturi de ex.) sau inclinata, de regula la unghiuri relativ abrupte (de ex. 20-30 de grade) sau banda rulanta cu trepte ca la metrou sau department stores (malluri).

La banda rulanta inclinata e aproape imposibil sa mergi cu bicicleta pe "contrasens" din motive evidente.

Banda rulanta cu trepte iese din discutie, tot din motive evidente.

mirabela
02.08.2007, 07:46
Se pare ca am probleme de comunicare smileys/smiley1.gif, eu aveam ceva in gand si nu m-am gandit ca altii si-ar pune problema unei benzi rulante inclinate sau cu trepte smileys/smiley36.gif. Deci voi spuneti ca se poate merge cu bicicleta... compunerea vitezelor e clara , totusi practic mi se pare un pic ciudat si din pacate nu am nici o banda rulanta prin apropiere sa ma duc cu bicicleta sa incerc pe "viu" smileys/smiley2.gif.


Problema lui kirk e pe hartie ... de o ora ma tot gandesc ! dar nu ma las pana nu o rezolv desi geometria nu a fost niciodata punctul meu forte... Am incercat sa o transpun intr-o problema de algebra ( un sistem de 2 ecuatii cu 2 necunoscute ) dar pana la urma cred ca totusi va trebui sa imi aduc aminte de ceva din geometrie ...

02.08.2007, 17:41
Pe o dreapta se iau trei puncte A, B si C. Fie O un punct care nu apartine dreptei. Se uneste O cu A, cu B si cu C. Are loc relatia:


OA2*BC- OB2*AC+ OC2*AB= AB*BC*AC


Cine stie a cui teorema este asta?

03.08.2007, 04:58
O problema pentru mai avansati...


Se da patrulaterul ABCD,in care unghiul A este egal cu unghiul D si egal cu 80 de grade(A=D=80 grade). Sa se afle celelalte doua unghiuri ale patrulaterului(B si C),stiind ca diagonala AC face cu latura AB un unghi de 20 de grade,iar diagonala DB face cu latrura DC un unghi de 30 de grade.





Kirk, nu mai stiu daca s-a rezolvat pb asta. Eu zic ca raspunsul este B=140 grade si C=60 grade.

Ana Stabell
03.08.2007, 12:06
Ady iti raspund eu: Nu s-a rezolvat problema...in sensul ca nimeni nu a gasit demonstatia prin care kirk a ajuns la rezultatele ca unghiul B este 130 grade iar C este de 70.


Kirk ma dau batuta, si tata si unchiul la fel deoarece nu reusim si pace s-o dibuim. Insa precis, daca vei fi amabil sa scrii demonstratia, ne vom da cu capu de pereti pt. ca ceva imi spune ca solutia este evidenta.


smileys/smiley70.gif

03.08.2007, 15:36
Ana, hai sa mai asteptam vreo doua zile, poate ca mirabela o rezolva sau, mai stii? poate Raven sau AdyC.

03.08.2007, 16:33
Parca era o teorema parca a lui Pitcenski.


Fie F mijlocul diagonalelor AC si BD. Fie E la intersectia prelugirii laturilor AB si CD.E=20 grd. si AB = AD formand triunghiul isoscel ABD. Cele 2 triunghiuri formate AFB si EBC sunt asemenea conf teoremei mai sus citate. si atunci unghiul EBC=50 grd si ECB=110 grd. Si prin urmare unghiul ABC=130 si DCB=70 Cred ca asta e rezolvarea dar nu ma puneti sa demonstrez teorema acum.

03.08.2007, 17:47
AdyC, m-ai bagat in ceata complet. Cum poate fi F mijlocul ambelor diagonale? Fiecare diagonala are mijlocul ei, deci sunt doua puncte distincte. Apoi, vorbesti de o anumita teorema, dar nu ne spui care e teorema. Nu iti cerem sa o demonstrezi, dar spune-ne care e. Si apoi, chiar admitand ca cele doua triunghiuri sunt asemenea (AFB si EBC), cum rezulta de aici ca unghiul EBC are 50 grd.? Pentru ca nici unul din unghiurile triunghiului AFB nu are 50 grd.

Ana Stabell
04.08.2007, 04:30
AdyC nu cred ca ai facut figura corect. Plus ca EBC sa zicem ca ar fi egal cu BAF=&gt; ungh. EBC=20 grade nu 50. Iar triunghiurile ABF si ECB au DOAR o latura in prelungirea celeilalte si un unghi cu aceeasi masura. Cazurile de congruienta sau ale triunghiurilor aseamenea contin 3 elemente ( LaturaUnghiLatura; UnghiLaturaUnghi; LaturaLaturaLatura) Tu ai gasit intradevar 2 din 3elemente insa de aici ori gasesti inca o latura ori unghi pt primele doua cazuri de congruenta - LUL sau ULU.


Kirk FIE-TI MILA OMULE!!!!


De 4 zile ma ti treaza cu problema asta si de 2 zile pe tata si unchiul meu. Precum vezi nimeni nu e indeajuns de destept. Plus ca siguranta natiunii nu depinde de secretu rezolvarii acestei probleme.


smileys/smiley18.gif

Ana Stabell
04.08.2007, 04:33
P.S. Mii de scuze in special lui Mirabela si Raven...Intentia mea nu este sa va jignesc cu exprimarea mea ca nimeni nu e indeajuns de destept. Daca v-am suparat sau jugnit imi cer milioane de scuze!smileys/smiley53.gif

lebada
04.08.2007, 04:39
*Daca iei orice numar,

Ana Stabell
04.08.2007, 05:10
* daca se i-a numarul oarecare n dublat va fi 2n:


[(2n+10)/2]-n=(2n/2+10/2)-n= (n+5)-n=5


*orice nr intre 1 si 9 inmultit cu 9 va da un numar a carui suma = 9 deoarece aceasta (suma cifrelor din numarul rezultat prin inmultirea cu 9) este una din proprietatie inmultirii si impartirii cu 9.


Nu stiu cum s-o demonstrez insa mai departe. Toti stiim sa inmultim cu 9 insa cum sa demonstrez ca sumacifrelor unuioricarui numarnatural inmultit cu 9 este 9 nu mai stiu.

Ana Stabell
04.08.2007, 05:13
P.S. presupun ca stim cu totii ca inmultirea si impartirea sunt distributive la fel ca adunarea si scaderea. Astfel (2n+10)/2=2n/2+10/2.

Ana Stabell
04.08.2007, 05:31
Vericicarea primei probleme pt. lebada:


se i-a numaru 19787568 la intamplare


19787568*2+10=39575146


39575146/2=19787573


19787573-19787568=5


Cheia este in adunarea lui 10. Restu e irelevant cat timp ai 10/2=5

Ana Stabell
04.08.2007, 06:11
smileys/smiley23.gif


Sorry AdyC nu vazui bine unghiurile la care te referi...http://www.romanian-portal.com/forum/smileys/smiley9.gif

lebada
04.08.2007, 09:10
Bine, Ana!


Te apreciez ca poti

mirabela
04.08.2007, 11:28
Am vazut ca AdyC a scris ceva legat de rezolvarea problemei dar am inchis ochii sa nu vad tot smileys/smiley1.gifca m-am ambitionat rau de tot... ce-i drept azi nu am avut inca vreme sa mai incerc .


Fiul meu a vazut ca sunt preocupata de rezolvarea unei probleme de matematica ( stiinta care pe el nu l-a atras niciodata ) si mi-a zis asa intr-un "sictir"... da, ia mama si masoara unghiurile alea si nu te mai chinui atat... e si asta o rezolvare , nu ? empirica dar rapida smileys/smiley36.gif

Ana Stabell
04.08.2007, 14:23
smileys/smiley36.gif

04.08.2007, 14:28
Tu ai gasit intradevar 2 din 3elemente insa de aici ori gasesti inca o latura ori unghi pt primele doua cazuri de congruenta - LUL sau ULU.











Ana, el nu a vorbit de congruenta, ci de asemanare.

04.08.2007, 18:35
AdyC, m-ai bagat in ceata complet. Cum poate fi F mijlocul ambelor diagonale?


Sorry, m-am exprimat gresit. F este punctul de intersectie al diagonalelor AC si BD. Iar E este in prelungirea celor doua laturi AB si CD formand un triungi isoscel AED. Teorema este a lui Pitcevski parca ii zice... Se formeaza 2 triunghiuri asemena conform teoremei. Cele 2 triunghiuri sunt AFB si BEC. Faceti figura si o sa vedeti. Va enunt si teorema daca e cazul. Dar de demonstrat mai greu.

04.08.2007, 19:00
Va enunt si teorema daca e cazul.





Eu zic ca e cazul.

04.08.2007, 19:08
Teorema suna cam asa. Fie un triunghi oarecare ABC. Fie D un pct pe BC astfel incat triunghiul ADC e isoscel cu AD=CD. Daca din D ducem o dreapta E cu E apartinand lui AC actfel incat AE=AB atunci triunghiurile AEF si EDC sunt asemenea. Unde F este intersectia EB si AD. Asta e teorema de o stiu eu de mult. Dar nu stiu s ao demonstrez acum. Se aplica perfect problemei enuntate.

05.08.2007, 03:54
AdyC, eu nu am auzit de teorema asta, dar daca tu zici ca exista, eu te cred. Ne-am bucura sa aflam si demonstratia. Dar pana una alta, iata rezolvarea problemei cu patrulaterul:


Mai intai, sa notam ca AB=AD. Ducem apoi o linie ajutatoare, si anume: construim pe latura AD un unghi de 20 grd. cu varful in A si notam cu E intersectia dintre CD si latura unghiului. Triunghiul ADE este isoscel. Deci AD=AE. Avem acum si AE=AB. Unim E cu B. Se observa ca unghiul BAE este de 60 grd., deci triunghiul AEB este echilateral. Sa observam si triunghiul AEC. Si acesta este isoscel, pentru ca are un unghi de 40 grd, iar celalalt de 100 grd. Deci AE=EC. Si deci EC=EB (pentru ca EB=AE, din triunghiul echilateral). Daca acum triunghiul BCE este isoscel, inseamna ca unghiul C este de 70 grd.- (180-40)/2.

Ana Stabell
06.08.2007, 12:10
smileys/smiley82.gif


Nimic nou?!....


smileys/smiley88.gif

06.08.2007, 14:58
Ana, pai n-ai zis nimic referitor la postarea mea din 2 august.

29.08.2007, 17:09
O problema a lui Titeica (a se citi t=tz). Se spune ca a descoperit-o intr-o dimineata, in timp ce statea la rand sa-si ia ziarul si se juca facand cercuri pe o bucata de hartie, cu un creion si o moneda de 25 de bani.


Fiind date 3 cercuri egale secante in acelasi punct (deci au un punct comun), sa se demonstreze ca cercul circumscris triunghiului format de celelalte 3 puncte de intersectie este egal cu cercurile date.

Ana Stabell
02.09.2007, 03:25
smileys/smiley4.gif


iamiiiiii iam iam....stai sa o deslusesc si p-astasmileys/smiley36.gif

Ana Stabell
02.09.2007, 03:38
http://www.romanian-portal.com/forum/smileys/smiley14.gif


Triunghiul format de cele 3 puncte de intersectie este inscris in cel de-al 3-lea cerc asadarcercul circumscris triunghiului este egal cu cercurile date deoarece este unu dintre cele 3 cercuri initiale.

02.09.2007, 12:03
Nu, Ana. Nu ai facut bine figura.

14.10.2007, 17:24
Uite o problema mai usoara: La ce ora intre 10 si 10:30, cu aproximatie de fractiuni de secunda, limbile ceasului sunt in prelungire?

keyframe14
17.10.2007, 05:07
Se da egalitatea:1 = 1
Inmultim ambii membri cu a2:a2 = a2
Scadem din ambii membri ai egalitarii pe b2 :a2 - b2 = a2 - b2Daca b este egal cu a rezulta:a2 - a2 = a2 - a2In primul membru dezvoltam diferenta de patrate ca produs de suma prin diferenta:( a + a ) ( a - a ) = a2 - a2

Raven
17.10.2007, 06:55
Uite o problema mai usoara: La ce ora intre 10 si 10:30, cu aproximatie de fractiuni de secunda, limbile ceasului sunt in prelungire?


Asta tine si de hardware-ul ceasului. Deci nu exista raspuns unic, ci o gama de raspunsuri. Gama e 10.21-10.24 (mai probabil 10.22-10.23)cu aproximatie mai mare de fractiuni desecunda.


La 10.20, teoretic, limba mica s-a miscat 1/3 din distanta dintre numerele 10 si 11. Deci la 10.20 limbile nu sunt in prelungire.





[quote=keyframe14]Se da egalitatea:1 = 1
Inmultim ambii membri cu a2:a2 = a2
Scadem din ambii membri ai egalitarii pe b2 :a2 - b2 = a2 - b2Daca b este egal cu a rezulta:a2 - a2 = a2 - a2In primul membru dezvoltam diferenta de patrate ca produs de suma prin diferenta:( a + a ) ( a - a ) = a2 - a2

17.10.2007, 18:30
Asta tine si de hardware-ul ceasului. Deci nu exista raspuns unic, ci o gama de raspunsuri.









Raven, nu tine de nici un hardware, iar raspunsul este unic. Problema se poate rezolva usor daca este transpusa linear, adica desfasurata circumferinta cercului (cadranul ceasului) si tratata ca o problema clasica de miscare lineara. Doua vehicule pornesc in acelasi timp, in aceeasi directie, unul din punctul A si unul din punctul B. Se cunoaste distanta AB, se cunosc vitezele vehiculelor, problema se pune sa se afle timpul dupa care intre cele doua vehiculese creazao distanta data (in cazul nostru pi x r). Se formeaza o ecuatie simpla de gradul intai, care in final va arata astfel: 11 xt = 240; iar timpul cautat va fi t=240 :11 t= 21,81818... adica 21 de minute si 49,09...secunde. Deci, la ora 10 si 21 de minute si 49,o9 secunde, limbile vor fi in prelungire.


keyframe14, este interesanta problema cu 1 = 2. Vezi si primele doua postari de pe acest topic (pagina 1).

Raven
02.11.2007, 12:53
Raven, nu tine de nici un hardware, iar raspunsul este unic.
Coane, iti demonstrez practic ca raspunsul nu e unic decat teoretic.

02.11.2007, 16:22
O.k., Raven, astept demonstratia.

Raven
03.11.2007, 09:49
Ia mai multe ceasuri de modele diferite cu cadran clasic (cu limbi) si pune manual limbile in prelungire la fiecare din ele. Ora va diferi cu mai mult de o secunda intre ceasuri.

E adevarat ca diferenta nu poate fi masurate exact, dar este evident mai mare de o secunda si mai mica de un minut.

Mecanisme cu precizie si design diferit.

Hardware.

04.11.2007, 15:35
Raven, stiu cum zici, ceasurile nu au toate acelasi grad de precizie. Mi-aduc aminte chiar de ceasul lui bunicul; era destul de grosolan lucrat. Dar aici suntem pe topicul de matematica si, dupa cum stii, la matematica problemele se pun sub aspect strict teoretic.

kiddy
02.12.2007, 14:05
Magia numerelor

</span><div style="text-align: center;">9 x 9 + 7 =
88</span>

98 x 9 + 6 = 888</span>

987 x 9 + 5 = 8888</span>

9876 x 9 + 4 = 88888</span>

98765 x 9 + 3 = 888888</span>

987654 x 9 + 2 = 8888888</span>

9876543 x 9 + 1 = 88888888</span>

98765432 x 9 + 0 = 888888888</span>


</div>1 x 8 + 1 =
9

12 x 8 + 2 = 98

123 x 8 + 3 = 987

1234 x 8 + 4 = 9876

12345 x 8 + 5 = 98765

123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432

123456789 x 8 + 9 = 987654321</span>



1 x 9 + 2 =
11

12 x 9 + 3 = 111

123 x 9 + 4 = 1111

1234 x 9 + 5 = 11111

12345 x 9 + 6 = 111111

123456 x 9 + 7 = 1111111

1234567 x 9 + 8 = 11111111

12345678 x 9 + 9 = 111111111

123456789 x 9 +10 = 1111111111</span>





1 x 1 = 1

11 x 11 = 121

111 x 111 = 12321

1111 x 1111 = 1234321

11111 x 11111 = 123454321

111111 x 111111 = 12345654321

1111111 x 1111111 = 1234567654321

11111111 x 11111111 = 123456787654321

111111111 x 111111111 = 12345678987654321</span>


</span>

fifi
04.12.2007, 22:00
draguta faza, kiddy, de unde ai luat-o?

kiddy
06.12.2007, 14:31
eh fifi</span>, rodul anilor de cercetare...smileys/smiley2.gif

13.12.2007, 13:58
kiddy, excelente "triunghiurile" tale. Anii de cercetare au adus rod, intr-adevar.


Hai sa ne mai punem mintea la contributie cu cate o problema, ce zici? De geometrie, ca sunt mai atractive. Uite aici una (nu numai pentru tine, ci pentru oricine vrea sa incerce).


Se considera un trapez dreptunghicABCD (unghiurile A si D au cate 90 de grade) in care cele doua baze au lungimile AB= a si CD= b iar latura neparalela BC= a+b. Daca E este mijlocul laturii neparalele AD, sa se arate ca triunghiul BEC este dreptunghic.

Raven
14.12.2007, 01:51
Teorema lui Pitagora aplicata succesiv.


Notatii: a2 inseamna patratul lui "a". AB2 inseamna patratul lungimii laturii "AB".


Paralela la latura AD dusa din C pe latura ABeste CP, unde P e pct. de intersectie cu latura AB.


CP = AD


In triunghiul BCP: CP2 = 4ab


DE = AE = AD/2 = CP/2 =&gt; DE2 = AE2 = ab


1) In triunghiul CDE: CE2 = b2 + ab.


2) In triunghiul ABE: BE2 = a2 + ab.


1) &amp;2) =&gt; BE2 + CE2 = (a + b)2 = BC2


BE2 + CE2 = BC2 =&gt; in triunghiul BCE unghiulE e drept. QED.

14.12.2007, 13:24
Frumoasa demonstratia, Raven! Se mai poate demonstra si altfel, dar e ok asa.

17.12.2007, 13:43
Sa se arate ca intr-un triunghi oarecare bisectoarea unui unghi determina pe latura opusa segmente proportionale cu laturile unghiului.

keyframe14
19.12.2007, 08:14
Daca se ia triunghiul ABC oarecare si bisectoarea AD(D apartinand laturii BC).Prin C se duce paralela la bisectoare si va intersecta, sa zicem in P, prelungirea laturii AB.Stiind ca AD // CP aplicand teorema lui Thales care zice ca o paralela dusa la una din laturile unui triunghi determina pe celelalte 2 laturi segmente proportionale(triunghil nostru fiind PBC, rezulta ca BD/DC=AB/AP.
ACP=DAC(alterne interne congruente)
unghiul DAC=BAD( deoarece AD este bisect)De unde rezulta prin tranzitivitate ca ACP=BAD si deci Triunghiul APC este isoscel cu baza PC.rezulta prin thales ca BD/DC=AB/AP inlocuim AP cu AC fiind laturile triunghiului isoscel..and there you go..cred ca se putea demonstra si cu mai putine cuvintesmileys/smiley2.gif</font>

19.12.2007, 15:22
E buna demonstratia, keyframe. Eu o facusem altfel. Am dus din C si din B perpendiculare pe bisectoare, respectiv CM si BN. Se formeaza doua micute triunghiuri dreptunghice asemenea BND si CMD. Dar si triunghiurile dreptunghice mai maricele ABN si ACM sunt tot asemenea. Scriind rapoartele de asemanare in ambele perechi de triunghiuri, gasim BD/DC = AB/AC.


Interesant cum se pot gasi mai multe cai de a rezolva problemele. Si problema precedenta, pe care a rezolvat-o Raven, eu o facusem altfel. Am observat ca linia mijlocie EF a trapezului este mediana in triunghiul BEC,EF = (AB + CD)/2 = (a+b)/2 = BC/2. Punctul F este deci egal departat de punctele B, C si E, ceea ce inseamna ca este centrul cercului circumscris triunghiului BEC, in care BC este diametru. Astfel ca unghiul din E este drept (se sprijina pe un semicerc).

Raven
20.12.2007, 12:09
Sa se demonstreze ca:

n! &lt;= [(n+1)/2]*n

unde "n" e nr. natural si pozitiv.


Notatie</span>: "(a)*b" inseamna "a" ridicat la puterea "b".

21.12.2007, 16:48
Sa luam mai intai un exemplu concret si apoi putem generaliza. Sa zicem ca n = 17. Problema ar fi sa aratam ca: 1x2x3x...x17 &lt; 9x9x9x...x9 (de 17 ori). Ambeleparti ale inegalitatii au cate 17 factori.Factorul din mijloc in partea stanga a inegalitatii este 9, adica (17 + 1)/2. Sa observam factorii din stanga si respectiv dreapta lui 9, luati doi cate doi.Mai intai avem (9-1)x(9+1) = 92 - 1 &lt; 92. Apoi (9- 2)x(9+2) = 92-4 &lt; 92 ... Si tot asa. In partea dreapta a inegalitatii, produsul dintre doi factori,unul din stanga sialtul din dreaptacelui din mijloc, este invariabil 92. Deci, partea stanga este mai mica decat partea dreapta. C.E.D. Egalitate avem numai in cazul particular n = 1.


Cum e, Raven?

Raven
22.12.2007, 09:31
Ai demonstrat-o pt. n=17. Complet ar fi prin inductie matematica (consideri ca enuntul e adevarat pt. n = k si pe baza asta demonstrezi ca enuntu e adevarat pt. n = k+1).

Mai simplu:

In inegalitatea mediilor consideram: a2 = a1 + 1 etc. si pe a1 = 1
Editat de Raven: (adica aplicam inegalitatea mediilor intre media geometrica si media aritmetica a primelor "n" numere naturale pozitive).

Rezulta:

(n!)*(1/n) &lt;= ∑(k)/n, pt. k = 1, 2,...n cu "n" nr. natural pozitiv.

Deci: n! &lt;= [∑(k)/n]*n.

Cum ∑(k) = [n(n+1)]/2 pt. k = 1, 2,...n, unde "n" e nr. natural pozitiv, rezulta ca
n! &lt;= [(n+1)/2)]*n, QED.


Notatii</span>:
"a1" este primul nr. dintr-un sir de "n" nr.; "a2" este al II-lea nr. din acel sir de "n" numere.
a*(1/n) inseamna radicalul de ordinul "n" al lui "a".
a*n inseamna "a" ridicat la puterea "n".

08.01.2008, 14:35
Intr-un plan se da un cerc si un punctPexterior cercului. Prin Pse duce tangenta PT la cerc (T punctul de contact cu cercul) si o secanta variabila care taie cercul in punctele A si B. Sa se demonstreze ca produsul PA.PB este constant si este egal cu PT2. - Puterea punctului fata de cerc.

19.01.2008, 23:39
Puterea punctului fata de cerc-punctul exterior cercului.


Consideram un punct P exterior cercului (O).Din P se duc secantele PAB si PMN[ A,B, M, N apartin lui (O)].


Vom avea produsul PA.PB=PM.PN=...=constant,adica produsul celor doua segmente de la punctul exterior pana la punctele de intersectie cu cercul este constant;aceasta constanta se numeste puterea punctului P fata de cercul (O).


Demonstratia se face cu triunghiurile asemenea PAM, PBN.Cum, in cazul dat M si N coincid in punctul de tangenta T,daca notam cu qputerea punctului, vom avea:q=PA.PB=PT.PT=POpatrat-OTpatrat,deci q=PTpatrat=d patrat-Rpatrat ,unde d=PO.Adica puterea punctului exterior este masurata prin patratul tangentei la cercsau prin expresia dpatrat -Rpatrat&gt;0, Rfiindraza cercului.

20.01.2008, 14:15
elia, vrei, te rog, sa revezi putin demonstratia? De ce spui ca triunghiurile PAM si PBN sunt asemenea?

20.01.2008, 17:03
S-a incurcat in notatii:

1. triunghiurile PAM si PBN sunt asemeneain cazulsecantelor PAB si PNM.

sau



2. triunghiurile PAN si PMB sunt asemeneain cazulsecantelor PAB si PMN[b]</script>

20.01.2008, 17:32
Asa da. Multumesc, Luca.


Frumoasa demonstratia, elia! Si, frumoasa e matematica asta, cine-o fi inventat-o!

21.01.2008, 15:17
Vin si eu cu o alta demonstratie (nu ca cea a lui elia ar avea vreun cusur), folosind o singura secanta - PAB.


Aceeasi constructie ca mai sus, in plus mai consideram punctul I - piciorul inaltimii duse din O pe coarda AB. Sa retinem ca, din triunghiul PIO, avem PI2 = PO2 - OI2, din triunghiul OAI avem OI2 = R2 - (AB/2)2, iar din triunghiul PTO avem PO2 - R2 = PT2


Produsul in discutie este PA x PB


PA x PB = [PI - (AB/2)] x [PI + (AB/2)] = PI2 - (AB/2)2


Folosind rezultatele de mai sus, avem:


PA x PB = PO2 - OI2 - (AB/2)2 = PO2 - [R2 - (AB/2)2] - (AB/2)2 = PO2 - R2 = PT2 QED


Si nu este exclus sa mai existe si alte demonstratii.

idontknow
26.01.2008, 01:25
O problema a lui Titeica (a se citi t=tz). Se spune ca a descoperit-o intr-o dimineata, in timp ce statea la rand sa-si ia ziarul si se juca facand cercuri pe o bucata de hartie, cu un creion si o moneda de 25 de bani.


Fiind date 3 cercuri egale secante in acelasi punct (deci au un punct comun), sa se demonstreze ca cercul circumscris triunghiului format de celelalte 3 puncte de intersectie este egal cu cercurile date.


Noi am studiat anul asta teorema lui Titeica si am demonstrat-o cu ajutorul numerelor complexe si a reprezentarii geometrice a acestora.De exemplu daca avem in sistemul de axe punctul M(a, b) care este imaginea geometrica a numarului complex Z=a+bi, atunci a+bi se numeste afixul punctului M.


Deci notam cercurile:C1(O1, R); C2(O2, R); C3(O3; R)


O reprezinta intersdectia celor 3 cercuri;


A reprezinta intersectia primelor 2 cercuri;


B reprezinta intersectia ultimelor 2 cercuri;


C reprezinta intersectia primului si celui de-al 3-lea cerc;


Dem: vectorul OA= vectorul OO1+ vectorul OO2


Fiecare punct are un anumit afix: O1(Z1); O2(Z2); O3(Z3)


Deci A are afixul A(Z1+Z2)


vectorul OB= vectorul OO2+ vectorul OO3


B are afixul B(Z2+Z3); C are afixul C(Z1+Z3)


AB=|ZB-ZA|=|Z2+Z3-Z1-Z2|=|Z3-Z1|=O1O3


BC=|ZC-ZB|=| Z2+Z3-Z1-Z3|=|Z2-Z1|=O1O2


AC=|ZC-ZA|=|Z1+Z3-Z1-Z2|=|Z3-Z2|=O2O3


Rezulta ca triunghiul ABC este congruent cu triunghiul O1O2O3, deci cercul circumscris triunghiului ABC este congruent cuercul circumscris triunghiului O1O2O3.&nbsp ;&nbsp ;

26.01.2008, 10:52
Ai dreptate, idontknow.Frumoasa demonstratia! Poate nu se va supara nimeni daca voi veni si eu cu o alta demonstratie. Si inca un "poate". Poate nu era rau sa spui in incheiere si de unde stim ca cercul circumscris triunghiului O1O2O3 este egal cu cercurile date. Eu stiu de ce, nu e vorba ca n-as stii eu. Si, apropo! care este teorema lui Titeica? Asta cu cele trei cercuri? Eu am crezut ca este doar o problema, nu am stiut ca este numita teorema.

Raven
26.01.2008, 11:13
Sa se demonstreze ca nu se poate construi un triunghi care sa aiba laturile de marimi 1, 2 si respectiv 3 (toate exprimate in aceeasi unitate de masura).

26.01.2008, 15:26
Iata o demonstratie originala a mea la problema cu cercurile, fara vectori si fara numere complexe.Nu am vazut-o scrisa nicaieri. Daca cumva gresesc, va rog sa ma corectati.


Unim pe A cu O si prelungim pe AOpana intersecteaza cercul al treilea. Fie D punctul de intersectieobtinut. Unghiul CAD este egal cu unghiul CDA, avand aceeasi masura ( arcul CO). Deci triunghiul CAD este isoscel si CD = CA. In mod similar aratam si ca triunghiul BAD este isoscel - unghiurile de la baza egale, avand aceeasi masura (arcul BO) - deci BD = BA. Astfel, triunghiul BCD este egal cu triunghiul ABC, avand toate laturile respectiv egale. Dar cercul circumscris triunghiului BCD este unul din cercurile date. Deci si cercul circumscris triunghiului ABC este egal cu cercurile date. ... Ce ziceti? O fi bine? Mie nu mi se pare sa fie nimic gresit.

idontknow
28.01.2008, 08:45
kirk wrote



Poate nu era rau sa spui in incheiere si de unde stim ca cercul circumscris triunghiului O1O2O3 este egal cu cercurile date. Eu stiu de ce, nu e vorba ca n-as stii eu. Si, apropo! care este teorema lui Titeica? Asta cu cele trei cercuri? Eu am crezut ca este doar o problema, nu am stiut ca este numita teorema.


Poi, smileys/smiley92.gifcentrul cercului circumscris triunghiului O1O2O3 este punctul O, deoarece OO1=OO2=OO3=R, care este raza celor 3 cercuri, deci ele vor fi congruente cu cercul circumscris triunghiului O1O2O3.


Teorema lui Titeica


Trei cercuri congruente C(O1, R), C(O2, R), C(O3, R) au un punct comun O si se mai intersecteaza doua cate doua in punctele A, B, C. Cercul circumscris triunghiului ABC este congruent cu cercurile date.

28.01.2008, 13:46
Multumesc, idontknow, pentru teorema. Si, da, asa e cu cercul circumscris triunghiului O1O2O3. Ce zici de demonstratia cu care am venit eu?

04.02.2008, 13:57
Sa se demonstreze ca nu se poate construi un triunghi care sa aiba laturile de marimi 1, 2 si respectiv 3 (toate exprimate in aceeasi unitate de masura).


Raven, ma gandeam, asa superficial, ca in orice triunghi o latura trebuie sa fie mai mica decat suma celorlalte doua. Nici mai mare, si nici egala. In cazul nostru, o latura (3) este egala cu suma celorlalte doua (1 + 2) si, in acest caz, "triunghiul" nu mai este triunghi, ci o linie dreapta.

Raven
05.02.2008, 09:52
E corect, dar incomplet (dpdv intuitiv e complet, dar dpdv analitiv lipseste jumatate).

Inegalitatile triunghiului (teorema remarcabila): cu segmentele a, b si c se poate construi un triunghi daca si numai daca </span>a &lt; b + c, b &lt; c + a, c &lt; a + b sau |b -c| &lt; a &lt; b + c.
Deci si reciproca e adevarata.

Setul a = 1, b = 2, c = 3 nu satisface toate cerintele indiferent ca ipoteza se transforma in concluzie (ca sa dea reciproca).

08.02.2008, 14:56
O intrebare de o suta de puncte pentru matematicieni si pentru tehnicieni. Dar poate raspunde oricine. Se stie ca la majoritatea angrenajelor cu roti dintate, dintii rotilor sunt executati dupa un profil care corespunde unei anumite curbe matematice. Despre ce curba este vorba? Evolventa? Cicloida? (Exista vreo diferenta intre aceste doua curbe?).

sorin
08.02.2008, 17:07
Nu sunt matematician, dar am avut de a face cu rotile dintate, datorita profilului meu tehnic. Definitiile aproximative, pe care cred ca mi le amintesc destul de bine, spun ca evolventa reprezinta o curba obtinuta prin rostogolirea fara alunecare pe un cerc fix, in timp ce o cicloida este o curba ce se obtine dintr-un punct fix de pe un cerc rostogolindu-se pe o dreapta (imaginati-va de exemplu un punct de pe roata masinii in miscare). Teoretic, datorita acestui profil (evolventa) contactul dintre doi dinti de la doua roti dintate, se face dupa o dreapta (vorbesc de cele cu dinti drepti), si se evita frecarea intre dintii rotilor respective, ceea ce nu ar fi posibil daca profilul dintilor ar fi realizat prin linii drepte sau alte curbe.
Am incercat sa dau o explicatie cat mai simpla, asa ca sper ca eventualele

11.02.2008, 10:19
Da, asa este. Explicatie simpla, dar clara. Este remarcabila aceasta realizare in domeniul tehnologiei, un profil al dintilor rotilor dintate care, cel putin teoretic, asigura angrenarea fara frecare. Si este remarcabil si felul in care matematica are aplicare in domeniul tehnologiei. Deci matematica nu o invatam doar ca sa ne foloseasca drept exercitiu al mintii; o invatam pentru ca ea are aplicatii inpractica.Daca rostogolim decio dreapta pe un cerc fix si urmarimun punctal dreptei, acesta descrie o evolventa - profilul ideal al dintilor la angrenajele cu roti dintate. Matematicianul Huygens (care a descoperit inelele lui Saturn) a rezolvat o problema a ceasurilor cu pendul,printr-o constructie care obliga pendulul sa se miste dupa o cicloida. Si exemplele pot continua. Sunt interesante aceste curbe de tipul evolventei sau cicloidei. Ele nu se exprima prin ecuatii de forma y = f(x), camajoritatea celorlalte curbe (parabola, hiperbola etc). Cicloida de exemplu are ecuatia: x = r (t - sin t) si y = r (t - cos t), unde r este raza cercului si t este unghiul in radiani cu care s-a rotit cercul. Nu am auzit niciodata vorbindu-se despre derivata sau integrala cicloidei/ evolventei. In engleza, cicloida este cycloid, dar nu stiu evolventa cum este.Daca cineva stie, il rog sa imi spuna.

sorin
11.02.2008, 10:50
In engleza, cicloida este cycloid, dar nu stiu evolventa cum este.Daca cineva stie, il rog sa imi spuna.


evolventa = involute

12.02.2008, 03:09
...involute! Multumesc sorin. ...Sa ne mai miscam neuronii, ce ziceti? Uite o problema: Se considera un triunghi oarecare ABC. Se duce mediana AA1. Apoi, dupa cateva secunde (sa mai si zambim), se duce si mediana BB1. Sa se demonstreze ca cele doua mediane se taie la doua treimi de varf, respectiv o treime de baza. Apoi, dupa o scurta pauza, sa se demonstreze ca si mediana CC1 trece prin punctul M (punctul de intersectie al primelor doua).

08.03.2008, 14:50
Numere complexe. Ce interesant! Le spune asa pentru ca sunt compuse din doua parti complet diferite: o parte reala si o parte imaginara (sau ireala). Ele sunt de forma a + bi - de exemplu, 3 + 5i. Partea a doua este ireala pentru ca il contine pe "i", care este radical din (-1). Intr-adevar, nu exista niciun numar care inmultit cu el insusi sa dea (-1). Deci noi lucram cu niste numere care de fapt nici nu exista. Ce-o fi cu noi!? Se fac calcule, teorii si demonstratii folosind aceste numere. M-am dus cu gandul la grecii antici (sau romanii). Secole de-a randul, acei oamenisi-au pusincrederea in niste zei care de fapt nici nu existau. Cum de a fost posibil?Chiar si faimosul Alexandru credea in divinitatile acelea. Mama lui, Olimpia, l-a invatat ca regii macedoneni descindeau din Heracle, un fiu al lui Zeus si ca strabunul lui Alexandrua fost Ahile. Alexandru a fost foarte religios. Inainte si dupa batalii el obisnuia sa aduca jertfe si sa-si consulte augurii cu privire la semnificatia anumitor semne prevestitoare. El a consultat si oracolul lui Ammon din Libia, iar in Babilon a urmat instructiunile caldeenilor referitoare la jertfe. Cum de nu si-o fi dat el seama ca acele credinte erau false!? Doar era un om super-inteligent.Ce bine de noi astazica ne punem increderea intr-un dumnezeu real, Dumnezeul Bibliei. Si in Fiul Sau, de asemenea o persoana reala. Dar ... am uitat ca sunt pe un topic de matematica. De ce nu ma trageti de maneca? Deci, vorbeam de numerele complexe. S-au gandit oamenii sa lereprezinte si grafic, intr-un sistem rectangular de coordonate. Astfel, au fixat un punct M de coordonate (a,b) si l-au numit "imaginea" numarului complex "a + bi". Daca au notat OM = r (O fiind originea sistemului) si cu A unghiul format de OM cu orizontala, atunci au putut sa scrie numarul complex sub forma trigonometrica si anume: a + bi = r ( cosA + i sinA). Ba s-aprezentat unul - de Moivre - cu o formula cu ajutorul careia se poate ridica numarul complex la orice putere. Formula este: (cosA + i sinA) la puterea n este egal cu (cos nA + isin nA). Cu formula aceasta se pot rezolva ecuatii trigonometrice din cele mai complicate. Folosim deci numere imaginare (sau ireale) ca sa rezolvam ecuatii reale. Nu ca-i interesant?

Raven
09.03.2008, 02:31
Folosim deci numere imaginare (sau ireale) ca sa rezolvam ecuatii reale. Nu ca-i interesant?
Da; si de-asta cred ca se si numesc numere "complexe".

Desi matematica intreaga se bazeaza pe doua numere: 0</font> si ∞, aceste doua concepte sunt matematic de nedefinit. Cum se poate defini nimicul si infinitul?

Mai este o legatura interesanta, cea dintre matematica si muzica. Pe scurt, numerele "canta", iar fiecare partitura muzicala poate fi asociata cu o insiruire unica de numere care are sens dpdv matematic.
</font>

28.03.2008, 18:19
O veste buna! Odata cu inaintarea in varsta, creierul nostru isi pastreaza o mare parte din potential. Specialistii in neurostiinte au descoperit de curand ca majoritatea functiilor cerebrale raman nealterate odata cu imbatranirea. Cercetatorii de la Center for Innovation in Science Learning din cadrul Institutului Franklin spun ca: "Creierul omului are capacitatea de a se adapta si de a forma noi conexiuni nervoase la nesfarsit. Chiar si la o varsta inaintata, in creier se pot forma noi neuroni. Deteriorarea mintala grava este de obicei cauzata de boala; totusi, in cele mai multe cazuri, pierderile de memorie si slabirea functiilor motorii asociate inaintarii in varsta sunt rezultatul lipsei de activitate, de stimulare si de exercitii mintale".


Am scris asta pe acest topic, pentru ca matematica este unul din modurile prin care ne putem stimula creierul din punct de vedere intelectual. Bineinteles, nu este unicul. Mai sunt o mie si unu de alte moduri.

idontknow
02.04.2008, 10:58
kirk, imi aduci aminte de un prof de mate care ne-a predat "accidental" ieri(am facut schimb de clase, ca era 1 aprilie).Era asa entuziast si chiar facea acest obiect sa para mai "dragut", daca pot sa spun asa...Totusi, matematica este relativa, mi se pare doar un sistem de conventii creat de oameni, deci nu prea elucideaza nimic...pana la urma, 1 si cu 1 nu fac neaparat 2, deci de ce ne mai streseaza atata pe noi la scoala?smileys/smiley36.gif






O veste buna! Odata cu inaintarea in varsta, creierul nostru isi pastreaza o mare parte din potential. Specialistii in neurostiinte au descoperit de curand ca majoritatea functiilor cerebrale raman nealterate odata cu imbatranirea.


O veste proasta!Odata cu inaintarea in varsta, ne apropiem din ce in ce mai mult de moarte.Tare, nu?smileys/smiley17.gif

02.04.2008, 13:22
...Totusi, matematica este relativa, ...pana la urma, 1 si cu 1 nu fac neaparat 2,








Cum, nu crezi ca exista si stiinte exacte?

idontknow
03.04.2008, 07:25
Cum, nu crezi ca exista si stiinte exacte?


Pai, nu sunt exacte decat in cadrul anumitor sisteme de conventii. Asa e si in matematica...de exemplu sistemul zecimal...

Raven
03.04.2008, 10:20
Exact nu inseamna neaparat corect.

04.04.2008, 17:01
Pe o linie dreapta (o sosea) se considera doua puncte A si B (B la dreapta lui A). Se considera deasemenea doua vehicule v1 si v2, care pleaca in acelasi timp si in aceeasisens (spre dreapta), v1 din A si v2 din B. Viteza lui v1 este mult mai mare decat viteza lui v2, astfel incat este de asteptat ca, dupa un timp, v1 sa-l ajunga din urma pe v2 si sa-l intreaca. Sa analizam. Dupa un timp, vehiculul v1 va ajunge in punctul B. In acest timp, vehiculul v2 s-a deplasat si el, mai incet dar s-a deplasat. El se va afla intr-un punct C. Distanta BC este, bineinteles,diferita de zero. Alergarea continua. Dupa un timp, v1 se va afla in punctul C. In acest timp, v2 s-a deplasat si el, mai incet dar s-a deplasat. El se va afla intr-un punct D. Distanta CD este, bineinteles, diferita de zero. Cand v1 va fi in D, v2 va fi in E; distanta DE diferita de zero.Si tot asa ... Continuind acest rationament, distanta dintre v1 si v2 va fi totdeauna diferita de zero. Cum asa? Vehiculul v1 nu-l ajunge niciodata pe vehiculul v2? Este gresit rationamentul de mai sus? Sau, vorba unei forumiste, matematica e relativa?

Raven
05.04.2008, 05:03
Cum asa? Vehiculul v1 nu-l ajunge niciodata pe vehiculul v2? Este gresit rationamentul de mai sus? Sau, vorba unei forumiste, matematica e relativa?
Rationamentul respectiv este gresit prin aceea ca este imprecis, vag, incomplet. Ipotezele de la care pleaca nu spun nimic despre proportia dintre vitezele lui v1 si v2 sau despre marimea distantei AB in raport cu BC (nici depre raportul BC/CD) sau despre timpul dupa care v1 ajunge in pct. B, C sau D (timp masurat din momentul plecarii lui v1 din pct. A de ex.), in schimb se trage concluzia precisa ca v1 nu-l ajunge niciodata</span> pe v2.

Corect este spus: v1 il va ajunge pe v2 la un moment care nu poate fi definit in timp pe baza ipotezelor asumate.

Problema nu este legata de matematica, ci de logica.

05.04.2008, 19:34
Raven, iti poti imagina ca v1 este o masina care circula in viteza, iar v2 este un ... melc. Si, indiferent ca distanta initiala dintre masina si melc (distanta AB) este o suta de metri, sau doua, sau cat o fi, noi stim ca masina va ajunge melcul. Nu trebuie sa ni se dea distanta exacta dintre ele si nici raportul vitezelor ca sa stim asta.Totusi, conform cu "rationamentul", distantele acelea BC, CD, DE s.a.m.d. sunt mereu mai mari ca zero.

Raven
06.04.2008, 09:46
E evident ca BC, CD sau DE sunt mereu </span>mai mari ca zero. Dar marimea lor depinde de raportul vitezelor v1/v2 si de distanta AB.

Chestiunea e legata de conditia de intalnire dintre v1 si v2. Daca alegem pozitia lui C la intalnirea lui v1 cu v2, atunci:

AC = v1 x t
BC = v2 x t
unde t este timpul scurs de la pornirea de pe loc a lui v1 si v2 (amandoua vehiculele pornesc in acelasi timp)

Dar:
AC = AB + BC =&gt; AB = AC - BC =&gt; AB = (v1 x t) - (v2 x t) = (v1 - v2) x t (v1 &gt; v2; altfel v1 nu-l va ajunge niciodata pe v2)

Daca distanta AB e cunoscuta si se cunoaste raportul v1/v2 = n (n &gt; 1):
t = AB/(v1 - v2)
BC = v2 x t = v2 x [AB/(v1 - v2)] = [v2/(v1 - v2)] x AB =&gt; BC = AB/(n - 1)

Pozitia lui C verifica ecuatiile:
BC = AB/(n - 1) si AC = [n/(n-1)] x AB

Distanta BC este mai mare ca zero, dar marimea ei depinde de raportul vitezelor v1/v2 si de distanta initiala AB dintre mobilele v1 si v2.

Prin transpunere, acelasi lucru este valabil si pt. distanta CD.

In nici un caz nu se poate trage concluzia ca distanta dintre v1 si v2 este intotdeauna</span> mai mare ca zero. Exista un moment in timp cand pozitiile lui v1 si v2 coincid si la acel moment distanta dintre ele este zero.

idontknow
06.04.2008, 12:35
Alta matematica


de Nichita Stănescu

Noi stim ca unu ori unu fac unu,
dar un inorog ori o para
nu stim c

06.04.2008, 18:42
E evident ca BC, CD sau DE sunt mereu mai mari ca zero. Dar marimea lor depinde de raportul vitezelor v1/v2 si de distanta AB.





Pai, daca BC, CD, DE s.a.m.d. sunt mereu mai mari ca zero, ce mai conteaza de cine depinde marimea lor? Chestiunea este ca ele sunt mereu mai mari ca zero.


E ok, Raven. Demonstratia ta este buna, dar imi place si mie sa te mai provoc. Cred ca si tie ti-a placut acest aparent paradox pe care il ridica problema.

Raven
07.04.2008, 00:00
Pai, daca BC, CD, DE s.a.m.d. sunt mereu mai mari ca zero, ce mai conteaza de cine depinde marimea lor? Chestiunea este ca ele sunt mereu mai mari ca zero.



E ok, Raven. Demonstratia ta este buna, dar imi place si mie sa te mai provoc. Cred ca si tie ti-a placut acest aparent paradox pe care il ridica problema.
Totusi, in functie de cum se alege pozitia lui C (sau la ce moment in timp se alege sa se masoare distantele AC si BC), v1 va fi:
1) in urma lui v2 sau
2) in acelasi loc cu v2 sau
3) in fatza lui v2.

Deci alegand pe D conform ipotezei avansate de tine (v1 &gt; v2 mereu), atunci CD &gt; 0, dar corect ar fi asa: |CD| &gt; 0</span> (pt. ca la orice moment ulterior ajungerii lui v1 de catre v2, pozitia vehiculelor din capetele segmentului CD va fi "inversata", adica v2 va fi mai aproape de C si v1 va fi mai aproape de D).

Eu zic ca e evident ca BC, CD, DE etc. sunt mai mari ca zero, dar mai important este care dintre vehicule se afla pe prima pozitie. Pt. ca in momentul in care v1 l-a ajuns din urma pe v2, atunci restul devine de importanta secundara.

Am inteles ce-ai vrut sa zici tu initial: pozitiile lui C, D, E etc. se pot alege la asemenea momente de timp a.i. v2 sa fie inca in fatza lui v1; deci esantionand timpul la infinit (presupunand ca se poate asa ceva), v1 nu-l va ajunge pe v2 sau altfel spus v1 il va ajunge pe v2 dupa un timp infinit - ceea ce e incorect pt. ca depinde de alegerea subiectiva</span> a pozitiilor lui C, D, E etc. (pozitiile punctelor respective au fost alese voit la momente in timp cand v1 inca nu-l ajunsese pe v2).

De-asta zic ca e o chestiune ce tine mai mult de logica si mai putin de matematica.

Dar ideea ta e interesanta pt. ca arata ca, atunci cand intervine conceptul de infinit, apar paradoxuri.

07.04.2008, 13:28
Frumoasa analiza, Raven!

Raven
07.04.2008, 23:54
Mie mi-a placut felul cum ai pus problema, voit incomplet ca sa "iasa" de-un paradox, paradox care oricum apare, dar nu neaparat la modul evident, in momentul cand se aduce in discutie infinitul.

Acuma, ca sa raspund intrebarii tale initiale cu cat de exacte sunt stiintele exacte, eu zic ca stiintele exacte sunt asa la modul relativ, adica ele sunt exacte intr-un cadru definit apriori. In cadrul lumii reale, al mediului inconjurator, stiintele exacte sunt de fapt stiinte ale aproximarii - o aproximare mai buna sau mai putin buna, dar in orice caz de mare valoare practica.

29.04.2008, 10:57
Nu am putut sa nu observ ca ati postat subiecte interesante de matematica pe acest topic. Si totusi vin cu o provocare. Cum se calculeaza centrul cercului inscris, respectiv centrul cercului circumscris intr-un triunghi oarecare cand dispunem doar de coordonatele varfurilor triunghiului? Eu am facut 1000 calcule si nu mi-a iesit nimic....smileys/smiley80.gif

30.04.2008, 15:18
Buna, Ipsec. Bine-ai venit pe forum! Se discuta aici de toate pentru toti. Referitor la problema pe care ai ridicat-o, eu ma gandesc ca, daca avem coordonatele varfurilor, avem tot. Sa zicem ca varful A are coordonatele (x1, y1) si varful B (x2, y2). Se pot determina imediat coordonatele mijlocului M alsegmentului AB, si anume Xm =(x1 + x2)/2 si Ym =(y1 + y2)/2. Pe de alta parte, se stie panta (inclinarea) lui AB, si anume m = (y2- y1)/(x2- x1), iar o perpendiculara pe AB va avea panta (- 1/m), adica inversa si de semn contrar. Asadar, putem scrie ecuatia mediatoarei segmentului AB, dupa formula dreptei care trece printr-un punct dat (M) si care are panta cunoscuta (-1/m). Aceasta ecuatie va fi: y - Ym = -1/m (x - Xm). In mod similar, aflam si ecuatia mediatoarei segmentului BC. Apoi, printr-un sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute, aflam coordonatele punctului de intersectie al acestor doua mediatoare. Cu alte cuvinte, am aflat coordonatele centrului cercului circumscris. Asa o fi?

05.05.2008, 16:28
O camera are lungimea de 10 m, latimea de 4 m si inaltimea de 4 m. Deci peretii din capete sunt in forma de patrat (4 x 4). Pe unul din acesti pereti in forma de patrat se considera punctul A la distanta de 1 m de sus, respectiv 3 m de jos, pe linia de mijloc. Pe peretele opus, se considera punctul B la distanta de 3 m de sus, respectiv 1 m de jos, tot pe linia de mijloc. Care este drumul cel mai scurt de la A la B mergand pe pereti (presupunem ca o furnica vrea sa ajunga de la A la B)? Deci poate merge pe oricare din pereti, inclusiv tavan, podea. Ideea este: nu prin aer.

idontknow
13.05.2008, 10:02
Mie imi trebuie pana maine la teza o formula pe care nu o gasesc in carte, profa ne-a explicat odata cum sa o deducem, dar nu mai tin minte. Deci imi trebuie formula pentru suma:


1la puterea a 4-a +2 la puterea a 4-a +3 la puterea a 4-a +...+n la puterea a 4-a=?


Ne-a spus ca o putem deduce cu ajutorul formulei:


1 la puterea a 3-a+ 2 la puterea a 3-a + 3 la puterea a 3-a+...+ n la puterea a 3-a =[n(n+1)/2]la puterea a 2-a

Raven
13.05.2008, 10:59
Mie imi trebuie pana maine la teza o formula pe care nu o gasesc in carte, profa ne-a explicat odata cum sa o deducem, dar nu mai tin minte. Deci imi trebuie formula pentru suma:


1la puterea a 4-a +2 la puterea a 4-a +3 la puterea a 4-a +...+n la puterea a 4-a=?

O idee:

∑k = n(n+1)/2

∑(k*2) = n(n+1)(2n+1)/6

∑(k*3) = [n(n+1)/2]*2unde k = 1,2,3,...nPe urma aplici formula lui Pascal la cazul tau si folosesti sumele de mai sus.



Notatie: a*2 inseamna "a" la puterea 2.



La problema lui Kirk </span>nu ma bag ca e smecher &lt;wink&gt;. Poate mai tarziu.

idontknow
14.05.2008, 03:23
Multumesc pentru idee, Raven.smileys/smiley1.gif

Georgian@
16.05.2008, 01:41
kirk, eu zic ca cea mai mica distanta este radical din 194=(5la puterea 2+13 la puterea 2)= putin peste 13,9 m dar&lt;14m

light
16.05.2008, 02:03
smileys/smiley2.gif



O camera are lungimea de 10 m, latimea de 4 m si inaltimea de 4 m. Deci peretii din capete sunt in forma de patrat (4 x 4). Pe unul din acesti pereti in forma de patrat se considera punctul A la distanta de 1 m de sus, respectiv 3 m de jos, pe linia de mijloc. Pe peretele opus, se considera punctul B la distanta de 3 m de sus, respectiv 1 m de jos, tot pe linia de mijloc. Care este drumul cel mai scurt de la A la B mergand pe pereti (presupunem ca o furnica vrea sa ajunga de la A la B)? Deci poate merge pe oricare din pereti, inclusiv tavan, podea. Ideea este: nu prin aer.





Distantele-s egale. Spune-ne tu daca exista "cel mai scurt drum".

16.05.2008, 15:31
light, distantele sunt egale cu cat? Nu, nu sunt egale. Drumul cel mai scurt la prima vedere pare a fi 14 m, adica 1 m in sus pe verticala, apoi 10 m pe tavan pe orizontala si inca 3 m in jos pe verticala. Totusi, exista un drum mai scurt, nu cu mult, dar mai scurt.


Georgiana@, ai dreptate. Raspunsul tau e bun. Darspune-ne si cum ai facut.

Georgian@
16.05.2008, 20:18
pai camera tridimensionala am defasurat-o in bidimensionl, astfel incatpunctul de peun parete patratic sa fie cu 2 m fata de linie, iar celalalt cu 1 m fata de linia diametral opusa. mi-a dat astfel distanta dintre puncte din triunghiul drept format:in care o latura avea 1+2+10=13m iar cealalta 3+2=5m


cam asa cevasmileys/smiley9.gif


http://photos1.hi5.com/0035/532/800/CIo7J4532800-02.jpg

17.05.2008, 16:29
Da, frumos! Ne intalnim la olimpiada.

Raven
18.05.2008, 07:48
Sa se arate ca:

lim</font> (x*x) = 1</font>
x-&gt;0
x&gt;0


Notatie: a*n inseamna "a" ridicat la puterea "n".

19.05.2008, 16:14
Problemele de limite de functii implica de obicei teoreme si teorii complicate din "Calculus". Eu vreau sa fac doar cateva observatii referitor la aceasta limita. x ia deci valori descrescatoare, tinzand catre zero. Sa ne imaginam sirul: ... 10*10; 9*9; 8*8; ... 2*2; 1*1. Sa ne oprim deocamdata aici. Evident, sirul este descrescator si, pentru x = 1, x*x = 1. Sa vedem ce se intampla in intervalul 1 - 0; x va lua valori fractionare, de felul 1/2; 1/3; 1/4; ... 1/1000 ..., iar sirul va fi de forma: radical din 1/2; radical indice 3 din 1/3; radical indice 4 din 1/4; ... radical indice 1000 din 1/1000 ... Sau, cu alte cuvinte: 1/radical din 2; 1/radical indice 3 din 3; 1/radical indice 4 din 4; ... 1/radical indice 1000 din 1000 ...1/radical indice n din n (n tinde spre infinit). Dar sirul radical indice n din n, cand n tinde spre infinit, are limita 1 (se demonstreaza astaseparat in Calculus). Asa ca sirul nostru 1/radical indice n din n (n tinde spre infinit) are limita 1/1, adica 1.

Raven
20.05.2008, 01:01
Kirk</span>, vad ca-ti place geometria.

Intuitia, eh?

E corect cum ai zis, intuitiv.

Una din rezolvari ar fi asa - folosind:
lim</font> n*(1/n) = 1 si lim 1*(1/n) = 1.
</font></font> n-&gt;∝ n-&gt;∝

1/[lim n*(1/n)] = 1 &lt;=&gt; lim</font> (1/n)*(1/n) = 1 &lt;=&gt; lim (x*x) = 1
n-&gt;∝ n-&gt;∝ x-&gt;0
x&gt;0
unde am notat x = 1/n.

23.05.2008, 19:10
Sunt patru linii principale intr-un triunghi: 1. mediana (uneste unvarf cu mijlocul laturii opuse) 2. mediatoarea (perpendiculara pe mijlocul unei laturi) 3. bisectoarea (imparte un unghi in doua parti egale) si 4.inaltimea (perpendiculara coborata dintr-un varf pe latura opusa). Sa vedem ce se intampla intr-un triunghi oarecare.


1. Ducem doua mediane si notam cu G punctul lor de intersectie. Ducem si pe a treia. Trece si ea prin punctulG. Ce nimereala!


2. Ducem doua mediatoare si notam cu O punctul lor de intersectie. Ducem si pe a treia. Trece si ea exact prin O. Hm! Cum de n-o fi luat-o putin mai asa?


3. Ducem doua bisectoare si notam cu I punctul lorde intersectie. Ducem si pe a treia. Trece prin I. Mai sa fie! Parca s-au vorbit.


4. Ducem doua inaltimi si notam cu H punctul lor de intersectie. Ducem si pe a treia. Trece si eaprin H. Fara comentarii.


Acum, fiindca tot s-a nimerit sa se intalneasca asa trei cate trei, s-au gandit oamenii sa le dea cate unnume acestor puncte de intersectie. S-au tot gandit ei, s-au tot gandit si au hotarat asa: 1.Lui "G" sa-i zica "centrul de greutate al triunghiului" (ca si cuvantul greutate incepe cu G). 2. "O" sa fie "centrul cercului circumscris" (ca doar "O" are forma de cerc). 3. "I", "centrul cercului inscris" ( "I" de la inscris). Si 4. "H", "ortocentrul" (sa fie si un nume mai sofisticat). Si iaca asa.


Si asa le-a ramas numele pana in ziua de azi.

15.06.2008, 17:28
S-o fi suparand Raven nu s-o fi suparand, dar eu am pus-o iarasi de un paradox. Trei gealati trag la un han. Vor sa ramana peste noapte. Costul unei camere, $25. Ei aveau fiecare cate o hartie de $10. Ii da hangiului si acesta le da restul $5. Se gandesc ei cum sa-i imparta acum. Au hotarat asa: Sa opreasca fiecare cate $1, iar diferenta de $2 sa-i dea cameristei. Totul a fost o.k. Acum, au stat ei si s-au socotit ce s-a intamplat cu banii lor. Au zis asa: mai, noi am avut la inceput cate $10; in buzunar mai avem cate $1; inseamna ca ne-a costat camera cate $9 de caciula; adica, 9 x 3 = $27; plus $2 pe care i-am dat cameristei fac $29. Unde e $1 (pana la $30)?


Voi ce ziceti? Unde s-a pierdut $1?

keyframe14
15.06.2008, 18:27
pai nu s-a pierdut nici un dolar...la sfarsitul problemei..fiecare gealat avea 1$ in buzunar(3), hangiul a bagat in casa 25$ (pretul camerei) si camerista are 2$ rezulta 3$+25$+2$=30$
Camera nu i-a costat 9$ de caciula, camera a fost 25$ deci i-a costat 8.333 de persoana(8.333...x3=25)plus 2$ cameristei,(0.666...7x3=2) plus 3$(adica cat mai au in buzunar1x3) tot 30 ne da...




inseamna ca ne-a costat camera cate $9 de caciula; adica, 9 x 3 = $27; plus $2 pe care i-am dat cameristei fac $29.Aici ai incercat sa pacalesti pentru ca i-a costat 9$ afacerea nu camera, adica 25$ camera +2 camerista deci 27..plus 3$ cat mai au in buzunar ..30..deci nu e +2..acolo e bubasmileys/smiley2.gif..
primesc un dolar pt asta?!smileys/smiley36.gif

16.06.2008, 18:59
Ai dolarul, keyframe. Poti face multe cu el. Cumperi un sfert de galon de benzina si, daca conduci un Geo Metro, ti-ajunge pentru fo zece mile.

20.06.2008, 16:14
Curs valutar: 1 dolar SUA - 2,3379 lei; 1 EURO - 3,6755 lei. Un bilet de avion dus-intors SUA - Romania costa 1362 EURO. Cum calculati valoarea in dolari a acestui bilet, pornind de la informatiile de mai sus?

20.06.2008, 17:15
Se poate prin doua metode, dupa parerea mea.
Ori inmultesc 1362 Euro cu cat e un Euro(3,6755lei) si ajung la suma in lei a biletului de avion, iar apoi impart suma obtinuta in lei, la cat reprezinta un dolar, si astfel ajung la pretul biletului in dolari.
Ori,calculez cati Euro reprezinta un dolar, impartind 2,3379 la 3,6755, si-mi va da ceva de genul 0,6...cred, caci e 2/3 , asa la o prima vedere, iar suma obtinuta exact o inmultesc cu numarul de Euro(1362).
Din pacate, n-am timpul necesar sa si calculez, si , pe de alta parte, nici nu plec nicaieri...;), cel putin deocamdata. As fi facut totusi calculul, caci, daca mi-ar fi dat aceeasi suma, as fi fost sigura ca n-am gresit pe undeva.:)
PS: Se spune ca a face calcule matematice cu mintea, bine pe hartie, dar nu cu ajutorul calculatorului, iti mentine mintea activa. Intotdeauna ma straduiesc sa tin cont de acest lucru, dar acum chiar ma grabesc, scuze!

20.06.2008, 17:30
Scuza-ma, Kirk, a doua metoda am facut-o varza, cred.;) E adevarat ca...graba strica treaba!Caci, gandindu-ma mai bine, pretul biletului in dolari, trebuie sa fie mai mare decat cel in Euro, ori daca inmultesc cu 0,6...iese mai mica...!!

Merg numai pe prima metoda, cand fac transformarea, pe aia cred ca n-am gresit-o, ca am incercat-o si in practica, cand a fost nevoie...:)

20.06.2008, 17:47
Ooof, Kirk, mi-ai dat de gandit in seara asta, dar multumesc!:) Mai imi amintesc si matematica, asa...
M-am gandit la a doua metoda, impart 3,6... la 2,3... si aflu cati dolari sunt intr-un Euro...adica mai mult de 1 dolar si ceva! Si apoi aplic regula de trei simpla, daca la un Euro..am atatia dolari(1 si ceva-ul ala), la 1300si cat ai zis ca e pretul biletului, am "x". Si iese suma in dolari.

Mai bine lasam pe altcineva, sa rezolve frumos problema, si cu calculele de rigoare!!
Imi cer scuze si al Sorin, pentru trei postari una dupa alta, dar nu-mi merge inca "edit"-ul. :)

kiddy
07.10.2008, 08:57
kirk, pe unde umbli? n-ai auzit ca s-a (re)deschis forumul?:anounce:

Am dat peste ceva interesant si m-a dus gandul la tine. :)


Incercati asta : 259 x varsta voastra x 39.

kirk
11.10.2008, 21:36
Ce poate fi mai frumos decat o problema de geometrie plana!
Se considera patratul ABCD. Fie O punctul de intersectie a diagonalelor AC si BD. Fie N mijlocul lui OB. Sa se demonstreze ca unghiul APN este de 45 de grade. (P - mijlocul lui DC).
Incercati!
P.S. Draguta chestia, kiddy. Si multumesc ca te-ai gandit la mine.

Ninu.
12.10.2008, 05:34
io anul trecut am reusit sa memorez integral tabla inmultirii cu 1... anul acesta sper sa pot memora tabla inmultirii cu 2....dar pina atunci ma munceste o intrebare......daca ai o tabla de sah si pe primul patratel pui o boaba de grau...pe al doilea pui doua boabe....pe al treilea patru boabe......pe al patrulea opt boabe.....si tot asa..adica dublezi mereu boabele la fiecare patratel...cite boabe trebuie sa pui pe ultimul patratel.....


aaa... si sa nu uit pe tabla de sah sant 64 de patratele....peste 8 ani cind termin cu tabla inmultiri o sa invat adunarea..si atunci o sa vad daca raspunsurile ce le voi primi sint adevarate.....:)

kiddy
17.10.2008, 22:18
......daca ai o tabla de sah si pe primul patratel pui o boaba de grau...pe al doilea pui doua boabe....pe al treilea patru boabe......pe al patrulea opt boabe.....si tot asa..adica dublezi mereu boabele la fiecare patratel...cite boabe trebuie sa pui pe ultimul patratel.....

iti spun eu ninule,
:calcul: 9223372036854775808 boabe, sper ca nu mi-a scapat niciuna.
mi-a luat vreo 5 zile de cand ai postat intrebarea, e mai greu cu abacul, da' am reusit pana la urma.
problema e cu patratelu asta ultim, cam ce dimensiuni ar trebui sa aiba pentru a incapea toate boabele astea? adica vreo 300 miliarde de tone!

Ninu.
18.10.2008, 17:18
Super....multumesc mult...acu m-am linistit...ca eram macinat de intrebarea asta de ceva timp si recunosc ca am incercat sa numar pe degete..treaba era ca am prea putine....

kiddy
19.10.2008, 09:36
stiu, initial si eu am fost tentat sa numar pe degete si aceeasi constatare o facusem.
pan' la urma m-am gandit ca e mai usor cu abacul, 2 la puterea 63. :)

AdyC
21.10.2008, 11:35
Ce poate fi mai frumos decat o problema de geometrie plana!
Se considera patratul ABCD. Fie O punctul de intersectie a diagonalelor AC si BD. Fie N mijlocul lui OB. Sa se demonstreze ca unghiul APN este de 45 de grade. (P - mijlocul lui DC).
Incercati!
P.S. Draguta chestia, kiddy. Si multumesc ca te-ai gandit la mine.
iti dau eu o rezolvare, dar poate e si alta mai simpla.
Notam cu E intersectia lui PN si CB. Triungiurile NBE si ONP sunt congruente(ULU), NB=ON, ONP=ENB(op la vf) NBE=PON=90+45=135 grade. Asta ptr ca POC=45 grade, triunghiul OPC fiind dreptunghic isoscel.
Deci BE=OP si PN=NE

Triunghiurile ABE si ADP snt congruente (LUL), BE=OP=DP ca jumatati laturi in patrat, ABE si ADP unghiuri drepte si AB=AD ca laturi patrat.
Deci Unghiurile DAP si EAB sunt egale si atunci unghiul PAE este drept.

Avem asa. PA=AE si PAE unghi drept. PN=NE deci PAE este triunghi dreptungic isoscel si atunci APN este de 45 grade.

Repet poate fi si o rezolvare mai simpla...dar asta merge

Georgian@
21.10.2008, 12:06
KIRK o varianta mai babeasca.
AN=NP=L RADICAL 1O/4 DE UNDE TRIUNGHIUL APN ISOSCEL
AP=L RADICAL 5/ 2

DE UNDE NE DA CA APN ESTE DE FAPT DREPT ISOSCEL:D

concluzie unghiul apn este de 45 grade

kiddy
21.10.2008, 16:05
Triunghiurile ABE si ADP snt congruente (LUL), BE=OP=DC ca jumatati laturi in patrat, ABE si ADP unghiuri drepte si AB=AD ca laturi patrat.
Deci Unghiurile DAP si EAD sunt egale si atunci unghiul PAE este drept.


doua mici corectii trebuie facute AdyC



KIRK o varianta mai babeasca.
AN=NP...

poti sa argumentezi asta?

christianT
21.10.2008, 19:22
KIRK o varianta mai babeasca.
AN=NP=L RADICAL 1O/4 DE UNDE TRIUNGHIUL APN ISOSCEL
AP=L RADICAL 5/ 2

DE UNDE NE DA CA APN ESTE DE FAPT DREPT ISOSCEL:D

concluzie unghiul apn este de 45 grade


Exacat asa mi-a dat si mie. Uite cum am procedat... spun asta pentru ca tu nu ai argumentat:

Am sa calculez laturile triunghiului ANP. Am sa arat ca laturile AN si NP sunt egale. Am sa arat apoi ca latura AP este o suma de patrate dintre laturile AN si NP, deci conform reciprocii Teoremei lui Pitagora triunghiul ANP este isoscel dreptunghic, prin urmare unghiul PAN este de 45 de grade.



Din punctul N cobor perpendiculare pe CD si AC, laturile patratului.
N1 se afla pe CD iar N2 pe AC.

Vom avea deci un mic patrat, si anume patratul N2NN1C. De ce patrat si nu un patrulater oarecare? Uite de ce:

unghiul N2CN1 este de 90 de grade (din ipoteza, pentru ca s-a dat un patrat)
unghiul NN2C este de 90 de grade (perpencidulara ce am coborat-o eu)
idem si pentru unghiul NN1C
unghiurile ACB si BCD si sunt egale cu 45, din ipoteza ai definit diagonalele patratului.

Sper deci ca v-am convins ca patrulaterul NN2CN1 este un patrat.

Cunoastem in aceast patrat diagonala: care este jumate din diagonala mare a patratului plus jumate din jumatea diagonalei.
Deci:
CN= L radical din 2/2 + L radical din 2/4 = 3L radical din 2/4 unde L= larura patratului mare dat din ipoteza.
Deci diagonala patratului mic este 3L radical din 2 /4

Putem afla latura patratului mic NN2CN1 cu teorema lui pitagora
CN la patrat= x la patrat + x la patrat, unde x este latura patratului mic, deci

in final, latura patratului mic este de 3/4 L

De aici e simplu de calculat mai departe
se calculeaza AN2 se obtine 1/3L si asa mai departe. e simplu... rezultatele sunt cele date de tine mai sus. Eu am aratat numai cum am calculat.

Sunt convins ca solutia mea este buna... chiar daca lucrezi mai mult.

kiddy
21.10.2008, 20:00
in final, latura patratului mic este de 3/4 L

De aici e simplu de calculat mai departe
se calculeaza AN2 se obtine 1/3L si asa mai departe. e simplu... rezultatele sunt cele date de tine mai sus. Eu am aratat numai cum am calculat.

Sunt convins ca solutia mea este buna... chiar daca lucrezi mai mult.

christianT, eu sunt mai greu de cap, dupa ce ai aflat latura patratului mic ca fiind L, ceea ce e corect, cum ai ajuns tu la concluzia ca AN2 = ⅓L ?
Si daca ar fi asa, la ce ne ajuta daca stim asta?

christianT
21.10.2008, 20:45
christianT, eu sunt mai greu de cap, dupa ce ai aflat latura patratului mic ca fiind L, ceea ce e corect, cum ai ajuns tu la concluzia ca AN2 = ⅓L ?
Si daca ar fi asa, la ce ne ajuta daca stim asta?

In primul rand rectific, AN2 este 1/4 L, am demonstrat mai jos de ce.

Acum uite cum am facut.

suntem de acord ca NN2CN1 este un patrat ...sper ca ai inteles de ce...
in triunghiul NN2C aplic teorema lui Pitagora

CN la patrat (adica ipotenuza) = CN2 la patrat + NN2 la patrat
adica

3L radical din 2 supra 4 (valoare lui CN)...totul la patrat = CN2 la patrat + CN2 la patrat (le-am scris asa pentru ca sunte laturile unui patrat, deci sunt egale)
prin ridicare la putere se obtine

9Lpatrat X 2/16=2CN2 la patrat...de aici se afla latura patratului mic
in functie de latura patratului mare...CN2=CN1=3/4 L

Acuma:
AN2=AC - CN2
adica
AN2= L-3L/4=1/4 L

De aici calculam direct AN din triunghiul AN2N (Teorema lui Pitagora)

AP il calculam din triunghiul APC (teorema lui Pitagora)

AP la patrat = AC la patrat + CP la patrat
adica
AP la patrat= L la patrat + L/2 la patrat....ne da AP=radical din 5 L/2


pentru NP mai lucram un pic... dar problema e ca si rezolvata.

Ce avem in triunghiul NPN1??

NN1 este latura patratului mic care o stim.. adica 3L/4
mai ramane sa calculam N1P

si iarasi mai lucram un pic....
intai calculam CN1 (Pitagora in triunghiul CNN1)
dupa ce calculam CN1
facem diferenta N1P=CN1-CP
unde CP este mijlocul laturii patratului, adica L/2

odata aflat N1P

aplicam Pitagora in triunghiul NN1P
si aflam valoarea lui NP, care este egala cu AN.
Uff.... e mult de lucru dar se face usor. E muncitoreasca

E singura problema de geometrie facuta de mine in ultimii 23 de ani!

kiddy
21.10.2008, 21:39
In primul rand rectific, AN2 este 1/4 L, am demonstrat mai jos de ce.
asta schimba mult datele problemei. :)


.....
Ce avem in triunghiul NPN1??

NN1 este latura patratului mic care o stim.. adica 3L/4
mai ramane sa calculam N1P

si iarasi mai lucram un pic....
intai calculam CN1 (Pitagora in triunghiul CNN1)
dupa ce calculam CN1

pai asta nu e latura a patratului mic? o mai calculam o data? :)


E singura problema de geometrie facuta de mine in ultimii 23 de ani!

felicitari ! :aplause: eu unul zic ca e corecta rezolvarea, sper ca si kirk sa fie de acord.

kirk
21.10.2008, 23:56
Eu eram profesorul. Sa corectam extemporalele. Glumesc, bineinteles. Nu, nu sunt profesorul. Oricine poate gasi o problema intr-o carte si sa o prezinte. Dar fiindca eu am venit cu problema, fac cateva comentarii:
Excelenta demonstratia, Georgian@! Si nu e deloc babeasca. Scurt si cuprinzator. Nu te-ai pierdut in detalii.
Foarte interesanta si varianta ta, AdyC. Nu-i gasesc nicio fisura. Ceva mi se pare doar ca ai bagat in plus. Catre sfarsit spui: "Avem asa. PA=AE si PAE unghi drept. PN=NE deci PAE aste dreptunghic isoscel" Afirmatia "PN=NE" este adevarata, dar, cred eu, nu isi are rostul in acest context. Este in plus.
ChristianT, frumos! Am urmarit demonstratia si e buna. Peste alti 23 de ani sa imi amintesti sa iti mai dau o problema. Comentarii: In general, este bine sa urmarim atent notatiile, pentru ca se pot face confuzii. Tu vorbesti, inca de la inceput, despre AC ca fiind latura patratului. In enuntul problemei, AC este diagonala patratului - s-a dat punctul O ca fiind punctul de inters. a diagonalelor AC si BD. Dar e ok., am inteles, tu ai inversat pe C cu D. Sa le lasam acum asa inversate. Latura aceea NN1 a patratului mic, cum il numesti, ai calculat-o corect. Se putea insa mai simplu, prin teorema asemanarii. Ti-o reamintesc: Se da un triunghi oarecare ABC. Se duce o dreapta paralela la BC care intersecteaza laturile AB si AC in M si respectiv N. Triunghiul mic care s-a format - AMN - este asemenea cu triunghiul dat - ABC. Astfel, AM/AB=AN/AC=MN/BC. Aplicand aceasta teorema in triunghiul nostru BCD, NN1 fiind paralela la BD, il aflam direct pe NN1. El este 3/4 din BD dupa cum CN este 3/4 din diagonala BC. Este totusi remarcabil ca dupa o pauza de 23 de ani ai putut rezolva o asemenea problema.
Kiddy, ti-ai indeplinit bine rolul de arbitru. Ai fost amuzant cand ai zis "pai asta e latura patratului mic, ce facem, o mai calculam o data?"
Daca sunteti de acord, ne mai intalnim la masa tratativelor.

kiddy
22.10.2008, 09:14
Excelenta demonstratia, Georgian@! Si nu e deloc babeasca. Scurt si cuprinzator. Nu te-ai pierdut in detalii.

si totusi cum e cu AN=NP? mai ales cu NP?

kirk
23.10.2008, 00:01
si totusi cum e cu AN=NP? mai ales cu NP?
kiddy, pai tocmai asta a demonstrat christian ca AN=NP. N-am inteles intrebarea.

kiddy
23.10.2008, 14:01
n-am pomenit nimic de christianT, e OK rezolvarea lui.

era vorba de cealalta rezolvare, cea... babeasca. eu as fi vrut sa mi se explice... mosnegeste, poate-mi scapa mie, in acea rezolvare, de unde rezulta ca AN=NP? e axioma sau ce?

kirk
23.10.2008, 14:10
Pentru iubitorii de "exercitiu al mintii", o continuare a problemei precedente. Nu cred ca e nimeni impotriva "exercitiului mintii". Si problemele de matematica, la fel ca si cuvintele incrucisate, problemele de sah si multe, multe altele tocmai la asa ceva sunt bune. Ori, pe forum, nu putem aduce un careu de rebus. Probleme insa da.
Deci, acelasi patrat ABCD din problema precedenta. Pastram notatiile din enunt (AC - diagonala, nu latura). Mai notam un punct, punctul E de intersectie a segmentului PN cu diagonala AC. Sa se demonstreze ca PE=EN.
Succes.

kiddy
23.10.2008, 15:06
Deci, acelasi patrat ABCD din problema precedenta. Pastram notatiile din enunt (AC - diagonala, nu latura). Mai notam un punct, punctul E de intersectie a segmentului PN cu diagonala AC. Sa se demonstreze ca PE=EN.
Succes.

- in triunghiul DNP, unghiul DNP are 30 care e totuna cu unghiul ONE din triunghiul dreptunghic ONE; asta inseamna ca OE = ON
ON = L*sqrt(2)/4
- avand acestea putem calcula NE = L*sqrt(10)/8
mai stim ca NP = L*sqrt(10)/4
- atunci EP = NP-NE = L*sqrt(10)/8 care tocmai am gasit ca ar fi si NE
------
QED

sqrt = radacina patrata, adica radical

kirk
23.10.2008, 19:15
kiddy, esti pe drumul cel bun. Mai revizuieste un pic. De unde stii ca unghiul DNP are 30 de grade? De fapt, nici nu are 30 de grade.

kiddy
23.10.2008, 20:54
kiddy, esti pe drumul cel bun. Mai revizuieste un pic. De unde stii ca unghiul DNP are 30 de grade? De fapt, nici nu are 30 de grade.
ba chiar are! /:)

- in triunghiul DAP, DP=AD => unghiul DAP = 30; in acelasi triunghi rezulta ca unghiul DPA = 60. De acord ?
- in triunghiul DPN acum, unghiul NDP = 45; unghiul DPN este suma DPA si APN pe care l-am determinat in prima etapa problemei ca avand 45, deci unghiul DPN = 105. Corect ?
- stiind ca suma unghiurilor intr-un triunghi este 180, atunci unghiul DNP = 180 - 45 - 105 = 30
---------------
QED:-?

si bineinteles, un zambet prietenos la sfarsit :)

kirk
23.10.2008, 21:56
- in triunghiul DAP, DP=AD => unghiul DAP = 30QED:-?


kiddy, intr-adevar DP=1/2AD, dar asta nu inseamna ca unghiul DAP este de 30 de grade. Nu daca tangenta unui unghi este 1/2 unghiul are 30 de grade, ci daca sinusul unghiului este 1/2. Ei, se mai incurca borcanele. Nu-i nimic, nu te descuraja.

kiddy
24.10.2008, 14:04
kiddy, intr-adevar DP=1/2AD, dar asta nu inseamna ca unghiul DAP este de 30 de grade. Nu daca tangenta unui unghi este 1/2 unghiul are 30 de grade, ci daca sinusul unghiului este 1/2. Ei, se mai incurca borcanele. Nu-i nimic, nu te descuraja.

corect, m-am pripit; scuze!

kirk
31.10.2008, 22:42
kiddy, nu mai zici nimic? Hai ca te ajut un pic. Demonstram ca unghiurile DAP si DNP (deci si ONE) sunt egale. Cum demonstram? Pentru usurinta calcului facem niste notatii: unghiul DAP il notam cu A si unghiul DPA cu P. Avem mai intai ca A + P = 90. In triunghiul DNP avem un unghi de 45 si unul (45+P); deci unghiul DNP va fi 180-45-P-45=90-P; adica DNP=A(adica DAP). Deci am demonstrat. Acum, pe baza acestei demonstratii, putem spune ca triunghiurile DAP si ONE sunt asemenea, avand toate unghiurile respectiv egale. Si, pe baza raportului de asemanare, avem OE=1/2 ON. Ceea ce gasisesi si tu. De aia zisesem eu ca esti pe drumul cel bun. Toata problema era ca unghiurile nu sunt de 30 de grade; in rest era bine.

Rebela
02.11.2008, 21:59
Un link pentru iubitorii de matematica:

www.artofproblemsolving.com

AdyC
02.11.2008, 23:11
cam criza de probelem pe aici. Kirk, nu mai ai nimic? ca ne-au inghetat neuronii.

kirk
03.11.2008, 11:20
Se considera patratul ABCD, de fapt acelasi de la problema precedenta (vezi post. #164, pag. 17). Reamintesc: O - punctul de intersectie a diagonalelor AC si BD; N - mijlocul lui OB; P - mijlocul lui DC; M - mijlocul lui AB; E - punctul de intrsectie al diagonalei AC cu segmentul PN; Q - punctul de intersectie a diagonalelor dreptunghiului AMPD. Mai notam un punct: L - intersectia dintre QE si BD
S-a cerut pana acum sa se demonstreze ca:
1. Unghiul APN are 45 de grade (si s-a demonstrat; vezi demonstratia facuta de georgiana, christian si ady)
2. PE=EN (si s-a demonstrat; vezi demonstratia facuta de kiddy si completarea facuta de mine)
Continuam: Sa se demonstreze ca:
3. LE este jumatate din EN


Curaj!

kiddy
03.11.2008, 18:56
...

Curaj!

kirk, am citit problema, am facut desenul si... mi s-au impaienjenit ochii! mi-am pierdut curajul...
:((

elliane
04.11.2008, 08:39
:((Nu plinge,kiddy,nu esti singurul.:-$

sad_rain
04.11.2008, 09:40
eu sunt in totala admiratie a oamenilor de iubesc matematica. Sincer, intru doar sa vad cine incearca sa rezolve..ca de interesat nu ma intereseaza.
Inca mai am cosmaruri noaptea, si ma visez scriind teze la matematica..vorbesc serios. :)

kirk
04.11.2008, 11:12
sad, o problema usoara pentru tine:
cat fac 2 la puterea a 3-a inmultit cu 2 la puterea a 5-a? Alege unul din urmatoarele doua raspunsuri (si justifica de ce):
1.) 2 la puterea a 7-a (2+5=7)
2.) 2 la puterea a 10-a (2x5=10)

sad_rain
04.11.2008, 12:43
sad, o problema usoara pentru tine:
cat fac 2 la puterea a 3-a inmultit cu 2 la puterea a 5-a? Alege unul din urmatoarele doua raspunsuri (si justifica de ce):
1.) 2 la puterea a 7-a (2+5=7)
2.) 2 la puterea a 10-a (2x5=10)

kirk..:( tu vrei sa-mi testezi inteligenta?:-?
pai nu-ti spusei ca nu-mi place?!

acum, din putina matematica ce mi-a ramas in brain..parca puterile se aduna, nu???? si atunci nu ar trebui sa fie 2 la puterea a 8-a? sau cum am luat-o eu babeste..si mi-am zis ca ar mai putea fi 2 la a 4-a inmultit cu 2 la a 4-a si ..deci 16 inmultit cu 16..deci ..pe acolo..?!?!?!?

ok, ok..tu ai vrut sa-i faci pe toti sa inteleaga ca mi's blonda. Gataa, au aflat..is blonda frate Dar sa stii, ca:zimbesc frumos, vorbesc putin (cind trebuie)..ma imbrac okay..deci "dau bine" in societate..si port peruca..bruneta.:):)

sa-mi mai dai probleme din astea..(in cazul in care pe asta am rezolvat-o corect)

kirk
04.11.2008, 19:58
sad, pentru mine culoarea parului nu spune nimic cu privire la inteligenta unei persoane. Tu ai observat ca niciunul dintre cele doua raspunsuri nu era corect. Si da! 2 la puterea a 8-a este raspunsul corect.

sad_rain
05.11.2008, 00:17
sad, pentru mine culoarea parului nu spune nimic cu privire la inteligenta unei persoane. Tu ai observat ca niciunul dintre cele doua raspunsuri nu era corect. Si da! 2 la puterea a 8-a este raspunsul corect.

oakaayy, incepe sa-mi placa....:)

kirk
05.11.2008, 22:25
Hai nu fugiti de raspundere; problema cu patratul isi asteapta inca rezolvarea. Ady, georgiana, christian si ... de ce nu, sad.
Trebuie aratat ca LE este jumatate din EN. Foarte simplu. Se folosesc constatarile de la punctul 1. si punctul 2.

kirk
08.11.2008, 04:13
sad, nu fi sfioasa. Am inteles ca ai avut o incercare de rezolvare. Spune-o cu curaj. Daca e ceva gresit, corectam.

kirk
04.12.2008, 00:20
Cam bate vantul pe topicul asta. Mai scriu si eu cate ceva, pentru ca ma gandesc ca poate totusi cineva citesta.
Va mai amintiti de patrulaterul inscriptibil? Nu orice patrulater se poate inscrie in cerc. Dar unele, da. Si pentru acestea a ramas denumirea consacrata de "patrulater inscriptibil". Interesant, in engleza nu se foloseste acest termen (inscribeble quadrilateral), sau cel putin nu l-am intalnit eu. Ei spun, de exemplu, ca "acest patrulater se poate inscrie in cerc", dar nu spun "acest patrulater este inscriptibil". In fine, asta nu e ceva important.
Patrulaterul inscriptibil are doua proprietati mari si late:
1. - Suma a doua unghiuri opuse este 180 de grade.
Pai imaginati-va un cerc (sau, de ce nu, desenati-l) si observati masurile unghiurilor opuse. Probabil nu ati uitat ca un unghi cu varful pe cerc are ca masura jumatate din masura arcului pe care se sprijina. Doua unghiuri opuse la varf se sprijina pe tot cercul. Deci ele au ca masura (impreuna) masura intregului cerc impartita la doi. Deci 360 : 2 = 180 grade

2. - Unghiul format de o diagonala cu o latura este egal cu unghiul format de cealalta diagonala cu latura opusa.
Imaginati-va din nou cercul (nu tot ala, altul; glumesc). Si observati ca unghiurile despre care e vorba mai sus se sprijina pe acelasi arc. Deci au aceeasi masura.
Ei, de acum incolo, ori de cate ori veti intalni (nu prea des, e adevarat) un patrulater in care suma a doua unghiuri opuse este 180 de grade, sau in care unghiul format de o diagonala cu o latura este egal cu unghiul format de cealalta diagonala cu latura opusa, atunci sa ziceti: Bai, sa stii ca asta e inscriptibil; se poate inscrie in cerc.
Fara gluma, aceste doua proprietati sunt foarte utile. Cu ajutorul lor se rezolva multe probleme de geometrie plana.

biliboaca
04.12.2008, 07:02
Am trecut doar asa sa va spun "jos palaria"!

(Obs. eu am fost fenomenul liceului meu la aceasta disciplina. profesorul meu de mate nu intelegea de ce aici nu mi se leaga nimic si la restul disciplinelor sunt ok-uta. drept sa spun nici eu nu am inteles vreodata de ce. eram sa pic bacu' din cauza matematicii :-$ daca nu se miluia un supraveghetor de mine ca luasem note bune la restul materiilor si ma stia dezghetata, drept pentru care mi-a dat ciornele unui coleg cand m-a vazut ca ma uit la foile albe ca mata'n calendar, sa nu ma aiba pe constiinta).:)

Tot respectul matematicienilor!

kirk
09.12.2008, 19:13
Ei, sa nu credeti ca v-am reamintit cele doua proprietati ale patrulaterului inscriptibil asa de florile marului. Pregateam in secret o problema. Iat-o:

Pe doua laturi consecutive ale unui patrat ABCD se construiesc triunghiurile echilaterale ABE si BCF (primul interior si celalalt exterior patratului). Sa se demonstreze ca punctele D,E,F sunt coliniare.

Have fun!

P.s. Thanks, biliboaca, ca ai vizitat topicul. Acum, fiindca cunosti cele doua proprietati, poti sa incerci chiar problema de fata.

biliboaca
10.12.2008, 06:14
Nu ti-e si tie mila de mine deloc mai Kirk. mai bine spal vasele zic...sau sterg prafu, ud gradina... :)



Ei, P.s. Thanks, biliboaca, ca ai vizitat topicul. Acum, fiindca cunosti cele doua proprietati, poti sa incerci chiar problema de fata.

xcience_master
26.05.2009, 01:28
Salutare,

Poate cineva sa ma ajute in deducerea formulei de calcul pentru suma primelor n cuburi?
Formulele pentru suma primelor n numere si suma primelor n patrate le-am dedus relativ usor. Dar nici cum nui dau de capat sumei primelor n cuburi.

Georgian@
26.05.2009, 10:35
Salutare,

Poate cineva sa ma ajute in deducerea formulei de calcul pentru suma primelor n cuburi?
Formulele pentru suma primelor n numere si suma primelor n patrate le-am dedus relativ usor. Dar nici cum nui dau de capat sumei primelor n cuburi.


zi-mi cat ti-a dat suma patratelor, si ti dau pe cea a cuburilor.

xcience_master
26.05.2009, 11:58
zi-mi cat ti-a dat suma patratelor, si ti dau pe cea a cuburilor.


Salutare Giorgian@,

In primul rand vreau sa zic multumesc pt raspunsul tau.
Suma primelor n patrate este [n(n+1)(2n+1)]/6. Deducerea acestei formule se face relativ usor in mod geometric. Facilitatile forumului acesta nu permite desene si deci deducerea formulei are o forma mai putin intuitiva.

Am dedus o formula pentru suma primelor n cuburi azi dimineata, eram prea obosit seara trecuta. Din nou deducerea s-a facut folosind geometrie simpla. Un triunghi drept de catete n(n+1)1/2 si n(n+1) respectiv. Suma primelor n cuburi fiind egala cu aria triunghiului. .

Sunt convins de validitatea formulei. Totusi sunt curios daca ai o metoda diferita de a deduce formula.

Apropo banuiesc ca esti studenta la facultate. Ce studiezi?

xcience_master
26.05.2009, 12:10
.................................................. ........

Georgian@
26.05.2009, 12:15
Salutare Giorgian@,

In primul rand vreau sa zic multumesc pt raspunsul tau.
Suma primelor n patrate este [n(n+1)(2n+1)]/6. Deducerea acestei formule se face relativ usor in mod geometric. Facilitatile forumului acesta nu permite desene si deci deducerea formulei are o forma mai putin intuitiva.

Am dedus o formula pentru suma primelor n cuburi azi dimineata, eram prea obosit seara trecuta. Din nou deducerea s-a facut folosind geometrie simpla. Un triunghi drept de catete n(n+1)1/2 si n(n+1) respectiv. Suma primelor n cuburi fiind egala cu aria triunghiului. .

Sunt convins de validitatea formulei. Totusi sunt curios daca ai o metoda diferita de a deduce formula.

Apropo esti studenta la facultate sau liceu?

de la toamna o sa fiu iar studenta. o poti face si intuitiv astfel:

1=1
1+2=9

faci treaba asta pentru primele x numere, si iti da patratul unui numar, care este de fapt x(x+1)/2

apoi, demonstrezi ca afirmatia este adevarata si pentru x+1;

sau babaeste folosind expresia:

a+b=(a+b)(a-ab+b)

concluzie: suma primelor n cuburi este [n(n+1)/2]

Georgian@
26.05.2009, 12:38
.................................................. ........

metoda inductiei, pornesti de la faptul ca o afirmatie e adevarata pentru primele x exemple si in cazul nostru este:

suma primelor x cuburi consecutive e [x(x+1)/2], apoi(vezi ce se intampla pentru x+1) ai:

suma primelor x+1 cuburi consecutive=[x(x+1)/2]+(x+1), ridici la putere faci calculul si iti da ca:

suma primelor x+1 cuburi consecutive=[(x+1)(x+2)/2] si tot asa pentru x+2, x+3,... rezulta ca afirmatia este adevarata pentru n numere.

ps:metoda intuitiei pe dracu, e o varza in capul meu, vezi ca am modificat. o sa ma inscriu din toamna iar aici in state, in computer science sper. pe coasta de vest ma inscrisesem la geologie dar m-am mutat.



sau babaeste folosind expresia:

a+b=(a+b)(a-ab+b)

iti ia mult timp sa ajungi la rezultat asa si in plus demonstratia e cam trasa de par.

totusi vezi daca scoti ceva.

xcience_master
26.05.2009, 13:01
de la toamna o sa fiu iar studenta. o poti face si intuitiv astfel:

1=1
1+2=9

faci treaba asta pentru primele x numere, si iti da patratul unui numar, care este de fapt x(x+1)/2

apoi, demonstrezi ca afirmatia este adevarata si pentru x+1;

sau babaeste folosind expresia:

a+b=(a+b)(a-ab+b)

concluzie: suma primelor n cuburi este [n(n+1)/2]

haha, mersi

Te pricepi. Doar de curiozitate, ai facut liceul in Romania? Imi vine foarte greu sa cred ca ai acumulat dexteritatea asta intr-un system de educatie ca si cel American.

Esti acolo cu famila sau doar tu?

Georgian@
26.05.2009, 13:52
haha, mersi

Te pricepi. Doar de curiozitate, ai facut liceul in Romania? Imi vine foarte greu sa cred ca ai acumulat dexteritatea asta intr-un system de educatie ca si cel American.

Esti acolo cu famila sau doar tu?

da, am terminat liceul in romania, acum vreo 4 ani, insa de atunci nu am mai pus mana pe o carte de mate in romana, am mai rezolvat ici colo, purtat o discutie, si am facut putin "calculas" aici in state. da', stii cum e, desi uiti multe, cateva chestii de baza iti mai raman. totusi, nu mai am aceiasi "dexteritate" pe care o aveam, si e frustrant, teribil de frustrant, de abia astept sa incep in toamna.

aici in state, am venit singura anul trecut pe viza de logodna.

anyway, discutiile pe teme din matematica imi fac mare placere, so be my guest.

tu esti la liceu, sau la colegiu?

xcience_master
26.05.2009, 14:08
Fain,
Eu sunt student la "Stiinte- Mate Fizica" Griffith Univeristy,Australia.
Tocmai rezolvam nishte exercitzii din manualu de analiza (a XI-a de Ganga) care implica suma primelor n cuburi. Era tarziu, devreme mai bine zis shi eram atat de frustrat incat i-am dat un GOOGLE.

Adevarul e ca nici unul din colegii mei nu pare sa arate interes prea mare fatza de mate, asha ca nu am cui sa apelez. Pana la urma e bine ca nu mi-a iesit problema dintr-una. Daca reusesti mereu din prima in veci nu invetzi nimic. Si pana la urma uite ca din frustrarea mea iese si ceva bun.

Ma bucur sa dau de cineva cu interes comun, si inca odata mersi pt raspuns,

Vali

Valentino46_@live.com
the_3style@yahoo.com.au

divo
26.05.2009, 14:50
Salutare,

Poate cineva sa ma ajute in deducerea formulei de calcul pentru suma primelor n cuburi?
Formulele pentru suma primelor n numere si suma primelor n patrate le-am dedus relativ usor. Dar nici cum nui dau de capat sumei primelor n cuburi.
Uite aici:


http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=8&ID=1015

Sper sa iti ajute,e explicatia data de oameni care stiu matematica!
Tin acum in mana o carte de "CALCULUS"...si chiar daca as fi terminat liceul anul trecut,probabil ca nu as fi avut aceeasi dexteritate acum,chiar daca am fost buna la matematica!!
Oricum...multa bafta si sa mai revii cu intrebari !:)

xcience_master
26.05.2009, 15:06
Mersi mult Divo.

Georgian@
26.05.2009, 15:08
Fain,
Eu sunt student la "Stiinte- Mate Fizica" Griffith Univeristy,Australia.
Tocmai rezolvam nishte exercitzii din manualu de analiza (a XI-a de Ganga) care implica suma primelor n cuburi. Era tarziu, devreme mai bine zis shi eram atat de frustrat incat i-am dat un GOOGLE.

Adevarul e ca nici unul din colegii mei nu pare sa arate interes prea mare fatza de mate, asha ca nu am cui sa apelez. Pana la urma e bine ca nu mi-a iesit problema dintr-una. Daca reusesti mereu din prima in veci nu invetzi nimic. Si pana la urma uite ca din frustrarea mea iese si ceva bun.

Ma bucur sa dau de cineva cu interes comun, si inca odata mersi pt raspuns,

Vali

Valentino46_@live.com
the_3style@yahoo.com.au

mda, lumea asta e plina de oameni "dezinteresati". "comunicarea" fara mesaj, aia de dragu' de a vorbi se practica intens, indiferent ca esti in romania sau in alta parte, m-am convins si eu de asta. la fel a fost si pentru mine la facultate in romania, o mare dezamagire. o iau aici in state de la capat si sincer, nu ma intereseaza cine, ce si cum, eu stiu ce vreau si asta o sa fac. atata timp cand am o biblioteca "decenta" pe profil, cu carti destule si fara pagini lipsa, publicate mai aproape de era noastra, profesori care cat de cat te respecta destul sa te asiste(in comparatie cu romania)... am tot ce-mi trebuie. stiu ca competitia e importanta in a excela, insa nu ai neaparata nevoie de altcineva, poti concura cu tine insuti, astfel incat Tu cel de maine sa fie mai bun decat Tu cel de azi.

Georgian@
26.05.2009, 15:20
Uite aici:

http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=8&ID=1015


Frumoasa demonstratia mai avansata decat inductia matematica de clasa a 8 a, a 9 a.

totusi daca observi varianta mea "babeasca", o sa vezi ca foloseste suma patratelor primelor n consecutive si suma primelor n consecutive, chestiune care in formula lui pascal e generalizata.

xcience_master
26.05.2009, 15:36
mda, lumea asta e plina de oameni "dezinteresati". "comunicarea" fara mesaj, aia de dragu' de a vorbi se practica intens, indiferent ca esti in romania sau in alta parte, m-am convins si eu de asta. la fel a fost si pentru mine la facultate in romania, o mare dezamagire. o iau aici in state de la capat si sincer, nu ma intereseaza cine, ce si cum, eu stiu ce vreau si asta o sa fac. atata timp cand am o biblioteca "decenta" pe profil, cu carti destule si fara pagini lipsa, publicate mai aproape de era noastra, profesori care cat de cat te respecta destul sa te asiste(in comparatie cu romania)... am tot ce-mi trebuie. stiu ca competitia e importanta in a excela, insa nu ai neaparata nevoie de altcineva, poti concura cu tine insuti, astfel incat Tu cel de maine sa fie mai bun decat Tu cel de azi.


Uneori am impresia ca lectura nu e decat- arta de a transfera informatie din notitele profesorului in notitzele studentului fara ca ea (informatia) sa treaca prin capul vreunuia din ei.

In legatura cu competitia ai perfecta dreptate. Eu vad problema in felul urmator: Competitzia creaza competitori sau adversari. Adversary creaza adversitate. Adveristatea rezulta in ambitie. Ambitia rezulta in SUCCESS. Negresit de fiecare data. Dar istoria nu se termina aici, caci succesul aduce lacomie. Iar lacomia aduce faliment celor ce se lasa stapaniti de ea.

In ceea ce priveshte lupta de unul singur este un necesar absolut. Cu toate astea lupta de unul singur este mai usoara pentru persoane mai introverte decat pentru o persoana extroverta. Si devine si mai dificila daca pesoana este Extroverta si Afectiva. Ah, iar ma trezesc vorbind de unul. Psihologia e una din pasiunile mele. Prietenii mei sunt bombardatzi cu observatzii shi explicatzii asupra tipurilor de personalitate si caracteristicile lor lor.

Procesul meu de studiu este facilitat extrem de mult prin comunicarea ideilor mele unei persoane, cu valente comune.

Cred ca sunt in locul potrivit.

Georgian@
26.05.2009, 15:48
Uneori am impresia ca lectura nu e decat- arta de a transfera informatie din notitele profesorului in notitzele studentului fara ca ea (informatia) sa treaca prin capul vreunuia din ei.

In legatura cu competitia ai perfecta dreptate. Eu vad problema in felul urmator: Competitzia creaza competitori sau adversari. Adversary creaza adversitate. Adveristatea rezulta in ambitie. Ambitia rezulta in SUCCESS. Negresit de fiecare data. Dar istoria nu se termina aici, caci succesul aduce lacomie. Iar lacomia aduce faliment celor ce se lasa stapaniti de ea.

In ceea ce priveshte “lupta de unul singur” este un necesar absolut. Cu toate astea lupta de unul singur este mai usoara pentru persoane mai introverte decat pentru o persoana extroverta. Si devine si mai dificila daca pesoana este Extroverta si Afectiva. Ah, iar ma trezesc vorbind de unul. Psihologia e una din pasiunile mele. Prietenii mei sunt bombardatzi cu observatzii shi explicatzii asupra tipurilor de personalitate si caracteristicile lor lor.

Procesul meu de studiu este facilitat extrem de mult prin comunicarea ideilor mele unei persoane, cu valente comune.

Cred ca sunt in locul potrivit.

welcome aboard! acum nu o sa mai fiu singura pe acest forum careia i se amputeaza ca face pe desteapta sau ca filozofeaza.

anyway, suntem mai mult sau mai putin off topic. in franta am avut de-a face cu multi oameni care predau sau cerceteaza in fizica, si si-au exprimat si ei dezamagirea fata de noile generatii. fata de matematica si informatica, in fizica si chiar si chimie dezinteresul e mai mare si in crestere.

de ce ai ales tocmai mate-fizica?

xcience_master
28.05.2009, 15:40
Salut Sorine,

Sunt nou la forumul tau, doar voiam sa te intreb daca stii pe cineve intersat in fizica.

Sunt anul 2 la mate fizica, Griffith University, Australia. Ma bucur sa vad ca suntetzi "pretty switched on" cu matematica, poate stii pe cineva cu cine pot sa schimb o ideie despre fizica.

Mersi,

Vali :)

xciencemaster@gmail.com
the_3style@yahoo.com.au

sorin
29.05.2009, 00:47
Sunt nou la forumul tau, doar voiam sa te intreb daca stii pe cineve intersat in fizica.
iti sugerez sa deschizi un topic pentru discutii despre fizica si sunt sigur ca vor apare parteneri de discutie. sa lasam acest topic pentru matematica, asa cum spune si titlul.

Raven
20.06.2009, 12:17
Sa se demonstreze ca √2 e numar irational.

kirk
20.06.2009, 12:28
Pai, pur si simplu, dupa regula extagerii radacinii patrate, te apuci si extragi radical din doi si vezi ca zecimalele nu se mai termina - 1,4142135624 ...

Raven
20.06.2009, 12:30
Pai, pur si simplu, dupa regula extagerii radacinii patrate, te apuci si extragi radical din doi si vezi ca zecimalele nu se mai termina - 1,4142135624 ...
De unde stii ca nu se mai termina zecimalele? Poate ca se termina pana la urma.

kirk
23.06.2009, 23:05
De unde stii ca nu se mai termina zecimalele? Poate ca se termina pana la urma.

Cred totusi ca nu se termina. De cateva zile tot scot la zecimale si n-am dat de cap. Radacina patrata se extrage cam greu, stii tu. Mult mai usor se extrage aia rotunda, cum e cazul castravetelui. Care castravete face parte din familia curcubitacee si e originar din America de Sud si ...
Acum, lasand gluma, eu nu stiu cum se demonstreaza. Poate stiu altii. Cred ca as stii totusi, daca mi-ai arata tu intai cum se demonstreaza ca radical din 3 este irational.

Raven
24.06.2009, 06:22
De ce crezi ca nu se termina? Poate se termina dupa 1 milion sau 1 miliard de zecimale. Dar asta nu e conditie ca un nr. sa fie irational. Exista numere rationale cu infinitate de zecimale, ex. 4/3.


Demonstratie ca nu se termina zecimalele lui √2 - prin reducere la absurd (in fuga pt. ca n-am mai mult timp acum):

Presupunem ca √2 este nr. rational => √2 = m/n, unde m > 0, n > 0, m si n nr. naturale si nu au factori comuni adica m/n e fractie ireductibila.

Ridicand la patrat:
√2 = m/n => 2 = (m/n)2 => 2 = m2/n2 => m2 =2(n2)

Deci m2 este nr. par => m nu este numar impar => m este par => m = 2k, unde k > 0 si k e nr. natural.

Ridicand la patrat:
m = 2k => m2 = 4(k2) => 2(n2) = 4(k2) => n2 = 2(k2) => n2 este nr. par => n este nr. par (pt. ca nu poate fi impar)

Rezulta ca m si n sunt numere pare, deci ambele sunt divizibile cu 2 => m si n au factor comun pe 2 (m/n nu e fractie indivizibila), contrar cu ipoteza de plecare.

Inseamna ca ipoteza e gresita si ca √2 nu poate fi scris ca fractie => √2 nu este nr. rational, deci este nr. irational.


La √3 nu m-am gandit inca suficient. Pe scurt as zice cam asa tot prin reducere la absurd:

√3 = m/n, unde m > 0, n > 0, m si n nr. naturale si nu au factori comuni adica m/n e fractie ireductibila.

Deci 3 = m/n => 3 = (m2)/(n2) => m2 = 3(n2) => m2 e divizibil cu 3 => m e divizibil cu 3 => m2 e divizibil cu 9.

Avem n2 = (m2)/3 si m2 e divizibil cu 9 => n2 e divizibil cu 3 => n e divizibil cu 3 => m si n sunt nr. divizibile cu 3, deci au factor comun pe 3 (m/n nu e fractie ireductibila) => contradictie cu ipoteza de plecare => √3 e irational.



PS: m2 este m ridicat la puterea 2.

don_mario001
24.06.2009, 09:14
Trebuie alese doua numere ( dintre care nici unul sa nu aiba mai mult de doua cifre )astfel incat dacan le adunati suma rezultata sa fie de doua ori mai mare fata de diferenta dintre ele . De asemenea , daca inmultiti cele doua numere , produsul lor sa fie de trei ori mai mare in comparatie cu suma lor .
Succes .

Georgian@
24.06.2009, 10:44
Trebuie alese doua numere ( dintre care nici unul sa nu aiba mai mult de doua cifre )astfel incat dacan le adunati suma rezultata sa fie de doua ori mai mare fata de diferenta dintre ele . De asemenea , daca inmultiti cele doua numere , produsul lor sa fie de trei ori mai mare in comparatie cu suma lor .
Succes .

4 si 12


De ce crezi ca nu se termina? Poate se termina dupa 1 milion sau 1 miliard de zecimale. Dar asta nu e conditie ca un nr. sa fie irational. Exista numere rationale cu infinitate de zecimale, ex. 4/3.


Demonstratie ca nu se termina zecimalele lui √2 - prin reducere la absurd (in fuga pt. ca n-am mai mult timp acum):

Presupunem ca √2 este nr. rational => √2 = m/n, unde m > 0, n > 0, m si n nr. naturale si nu au factori comuni adica m/n e fractie ireductibila.

Ridicand la patrat:
√2 = m/n => 2 = (m/n)2 => 2 = m2/n2 => m2 =2(n2)

Deci m2 este nr. par => m nu este numar impar => m este par => m = 2k, unde k > 0 si k e nr. natural.

Ridicand la patrat:
m = 2k => m2 = 4(k2) => 2(n2) = 4(k2) => n2 = 2(k2) => n2 este nr. par => n este nr. par (pt. ca nu poate fi impar)

Rezulta ca m si n sunt numere pare, deci ambele sunt divizibile cu 2 => m si n au factor comun pe 2 (m/n nu e fractie indivizibila), contrar cu ipoteza de plecare.

Inseamna ca ipoteza e gresita si ca √2 nu poate fi scris ca fractie => √2 nu este nr. rational, deci este nr. irational.


La √3 nu m-am gandit inca suficient. Pe scurt as zice cam asa tot prin reducere la absurd:

√3 = m/n, unde m > 0, n > 0, m si n nr. naturale si nu au factori comuni adica m/n e fractie ireductibila.

Deci 3 = m/n => 3 = (m2)/(n2) => m2 = 3(n2) => m2 e divizibil cu 3 => m e divizibil cu 3 => m2 e divizibil cu 9.

Avem n2 = (m2)/3 si m2 e divizibil cu 9 => n2 e divizibil cu 3 => n e divizibil cu 3 => m si n sunt nr. divizibile cu 3, deci au factor comun pe 3 (m/n nu e fractie ireductibila) => contradictie cu ipoteza de plecare => √3 e irational.



PS: m2 este m ridicat la puterea 2.

radical din 3 posibil?

anyway overall frumoasa demonstratia si pe intelesul tuturor. cand am citit-o la inceput ma gandeam la o demonstratie mai "avansata", ca tot mi s-a amputat ca "nu stiu" matematica<<smile>>, insa merge si asa.

late edit:uite aici(demonstratia geometrica si o generalizare):

http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root_of_2

http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml

frumusetea matematicii: poti gasii demonstratii multiple pentru aceiasi problema.

kirk
24.06.2009, 18:24
Raven, eu am glumit cand am spus "cred ca nu se mai termina". Am crezut ca iti dai seama. Tot mesajul incepuse pe ton de gluma (radacina rotunda ... castravetele). Chiar ai crezut ca zilele astea am tot extras la zecimale ca sa vad daca se termina? Stiu si eu ce inseamna o demonstratie matematica. Nu poti veni cu "cred ca ... ", "banuiesc ca ... ", "am presimtirea ca ... ".
Oricum, demonstratia propusa de tine mi-a placut. Clara si pe intelesul tuturor.

Raven
24.06.2009, 18:51
Kirk, m-am facut ca nu vad gluma, desi era orbitor de evidenta <wink>. Eram convins ca nu te-ai apucat sa extragi radicalul din 2.

Georgian@, acolo am scris gresit din graba, corect era √3 si nu 3.

Ma gandesc ca topicul nu e doar pt. probleme de matematica, ci un pic mai cuprinzator de-atat, adica merge si de niste observatii despre numere de ex.

Un numar perfect in matematica este un numar la care suma divizorilor sai este egala cu numarul insusi.
6 este cel mai mic numar perfect: 1 + 2 + 3 = 6.
Sf. Augustin credea ca perfectiunea lui 6 exista dinainte de facerea lumii si ca lumea a fost creata in 6 zile din cauza ca numarul este perfect.

De demonstrat: fiecare numar par mai mare ca 2 este suma a doua numere prime.
(Nu s-a reusit demonstratia pana acum, dar nici nu s-a putut infirma.)

Georgian@
24.06.2009, 19:41
Kirk, m-am facut ca nu vad gluma, desi era orbitor de evidenta <wink>. Eram convins ca nu te-ai apucat sa extragi radicalul din 2.

Georgian@, acolo am scris gresit din graba, corect era √3 si nu 3.

Ma gandesc ca topicul nu e doar pt. probleme de matematica, ci un pic mai cuprinzator de-atat, adica merge si de niste observatii despre numere de ex.

Un numar perfect in matematica este un numar la care suma divizorilor sai este egala cu numarul insusi.
6 este cel mai mic numar perfect: 1 + 2 + 3 = 6.
Sf. Augustin credea ca perfectiunea lui 6 exista dinainte de facerea lumii si ca lumea a fost creata in 6 zile din cauza ca numarul este perfect.

De demonstrat: fiecare numar par mai mare ca 2 este suma a doua numere prime.
(Nu s-a reusit demonstratia pana acum, dar nici nu s-a putut infirma.)

4=1+3=2+2
6=1+5=3+3
8=1+7=3+5
10=3+7
12=1+11=5+7
14=1+13=3+11
16=3+13
18=1+17=5+3
20=1+19=3+17
22=3+19
24=1+23=5+19
26=3+23
28=5+23
30=1+29=7+23
32=1+31=3+29
34=3+31
36=5+31
38=1+37=7+31
40=3+37
42=5+37
44=1+43=7+37
46=3+43
48=1+47=5+43
50=3+47
........

dupa cum vezi orice numar par x poate fi scris fie ca :

x=1+(x-1), fie x=3+(x-3), fie x=5+(x-5) pentru primele sa zicem k numere. pentru urmatorul numar avem fie:

x+2=3+(x-1), fie x+2=5+(x-3), fie x+2=7+(x-5) ceea ce satisface. urmatorul pas e sa vedem ce sa intampla cu x+4.

*toate numerele bold-uite sunt prime.

ce ramane de demonstrat e ca macar vreunul dintre x-3, x-1, x+1 unde x e par, este prim. rescrii numarul folosind numarul impar gasit dintre cele trei la care adaugi dupa caz, 1, 3 sau 5. astfel la urmatorul pas o sa folosesti cel mult 7 si numarul prim de la pasul precedent. si tot asa cu inductia matematica....

ps: simple observatii si discutie asupra problemei, nu zic ca asta e 100% demonstratia. surprinzator totusi ca nu s-a putut demonstra.

late edit: 1 nu e numar prim(de la Euclid incoace), deci nu merge asa.

Raven
25.06.2009, 16:32
orice numar par x poate fi scris fie ca :

x=1+(x-1), fie x=3+(x-3), fie x=5+(x-5) pentru primele sa zicem k numere. pentru urmatorul numar avem fie:

x+2=3+(x-1), fie x+2=5+(x-3), fie x+2=7+(x-5) ceea ce satisface. urmatorul pas e sa vedem ce sa intampla cu x+4.

*toate numerele bold-uite sunt prime.
De unde reiese ca x-3 de ex. e prim? Nu reiese de nicaieri asta.

Orice nr. prim mai mare ca 2 este impar (altfel ar fi divizibil cu 2, deci nu ar fi prim). Deci suma a oricare doua nr. prime mai mari ca 2 este un nr. par mai mare ca 2.
Asta nu inseamna ca orice nr. par mai mare ca 2 este suma a doua numere prime.

Georgian@
25.06.2009, 21:29
De unde reiese ca x-3 de ex. e prim? Nu reiese de nicaieri asta.

Orice nr. prim mai mare ca 2 este impar (altfel ar fi divizibil cu 2, deci nu ar fi prim). Deci suma a oricare doua nr. prime mai mari ca 2 este un nr. par mai mare ca 2.
Asta nu inseamna ca orice nr. par mai mare ca 2 este suma a doua numere prime.

nu reiese, e inductie matematica. gasesti forumula asta valabila pentru k numere si apoi vezi ce se intampla pentru urmatoarele, si le aranjezi astfel incat sa respecte formula.

insa nu merge pentru ca exista si cazuri in care pentru un numar par x nici unul dintre x-3, x-1 sau x+1 nu e prim, spre exemplu 328 sa zicem, 325(5 divizor), 327(3 divizor), 329(47x7) nici unul nu este prim. si in plus 1 nu e numar prim de la Euclid incoace si eu folosisem asta in demonstratie.

am generat un algoritm si pana la cam 10 000 iti pot spune sigur ca toate numerele pare pot fi scrise ca suma de numere prime. ideea algoritmului e ca gaseste numerele prime mai mici decat x par face diferenta si daca diferenta este prim atunci iti da rezultatul.

spre exemplu 1360
primul nr prim mai mic 1327, diferenta este 33 care nu este prim
deci trecem la urmatorul 1321 diferenta este 39 care again nu este prim
again trecem la urmatorul 1319 diferenta este 41 care este prim, in concluzie
1360=1319+41

Raven
26.06.2009, 04:54
am generat un algoritm si pana la cam 10 000 iti pot spune sigur ca toate numerele pare pot fi scrise ca suma de numere prime. ideea algoritmului e ca gaseste numerele prime mai mici decat x par face diferenta si daca diferenta este prim atunci iti da rezultatul.
Nu exista (inca) algoritm pt. identificarea tuturor numerelor prime.

don_mario001
26.06.2009, 06:42
900 este un numar ca oricare altul . Va cerem , insa , sa-l impartiti pe 900 in patru alte numere , astfel incat daca la primul din acestea adaugam 5 , din al doilea scadem 5 , al treilea numar il inmultim cu 5 , iar pe ultimul il impartim la 5 , cele patru operatii sa conduca la celasi rezultat .

Raven
26.06.2009, 08:13
(1) m + n + p + q = 900
(2) m + 5 = n - 5 = 5p = q/5

Deci:
m = 5p - 5
n = 5p + 5
q = 25p

Inlocuind pe m, n, q in (1) => 36p = 900 => p = 25 => m = 120, n = 130, q = 625

Proba:
120 + 130 + 25 + 625 = 900


Seamana cu alea de prin almanahe (sic), dar distractiva nevertheless.

Georgian@
26.06.2009, 09:29
Nu exista (inca) algoritm pt. identificarea tuturor numerelor prime.

insa s-au generat primele 1000 de numere prime cel putin. de aceea am zis ca pana la vreo 10 000.

ete aici, le pui pe toate intr-o baza de date si mai departe algoritmul de care iti ziceam eu, care iti gaseste suma, e simplu.

primele 1000 de numere prime:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
127 131 137 139 149 151 157 163 167 173
179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349
353 359 367 373 379 383 389 397 401 409
419 421 431 433 439 443 449 457 461 463
467 479 487 491 499 503 509 521 523 541
547 557 563 569 571 577 587 593 599 601
607 613 617 619 631 641 643 647 653 659
661 673 677 683 691 701 709 719 727 733
739 743 751 757 761 769 773 787 797 809
811 821 823 827 829 839 853 857 859 863
877 881 883 887 907 911 919 929 937 941
947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013
1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069
1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151
1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223
1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291
1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373
1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451
1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511
1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583
1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657
1663 1667 1669 1693 1697 1699 1709 1721 1723 1733
1741 1747 1753 1759 1777 1783 1787 1789 1801 1811
1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889
1901 1907 1913 1931 1933 1949 1951 1973 1979 1987
1993 1997 1999 2003 2011 2017 2027 2029 2039 2053
2063 2069 2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113 2129
2131 2137 2141 2143 2153 2161 2179 2203 2207 2213
2221 2237 2239 2243 2251 2267 2269 2273 2281 2287
2293 2297 2309 2311 2333 2339 2341 2347 2351 2357
2371 2377 2381 2383 2389 2393 2399 2411 2417 2423
2437 2441 2447 2459 2467 2473 2477 2503 2521 2531
2539 2543 2549 2551 2557 2579 2591 2593 2609 2617
2621 2633 2647 2657 2659 2663 2671 2677 2683 2687
2689 2693 2699 2707 2711 2713 2719 2729 2731 2741
2749 2753 2767 2777 2789 2791 2797 2801 2803 2819
2833 2837 2843 2851 2857 2861 2879 2887 2897 2903
2909 2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 2971 2999
3001 3011 3019 3023 3037 3041 3049 3061 3067 3079
3083 3089 3109 3119 3121 3137 3163 3167 3169 3181
3187 3191 3203 3209 3217 3221 3229 3251 3253 3257
3259 3271 3299 3301 3307 3313 3319 3323 3329 3331
3343 3347 3359 3361 3371 3373 3389 3391 3407 3413
3433 3449 3457 3461 3463 3467 3469 3491 3499 3511
3517 3527 3529 3533 3539 3541 3547 3557 3559 3571
3581 3583 3593 3607 3613 3617 3623 3631 3637 3643
3659 3671 3673 3677 3691 3697 3701 3709 3719 3727
3733 3739 3761 3767 3769 3779 3793 3797 3803 3821
3823 3833 3847 3851 3853 3863 3877 3881 3889 3907
3911 3917 3919 3923 3929 3931 3943 3947 3967 3989
4001 4003 4007 4013 4019 4021 4027 4049 4051 4057
4073 4079 4091 4093 4099 4111 4127 4129 4133 4139
4153 4157 4159 4177 4201 4211 4217 4219 4229 4231
4241 4243 4253 4259 4261 4271 4273 4283 4289 4297
4327 4337 4339 4349 4357 4363 4373 4391 4397 4409
4421 4423 4441 4447 4451 4457 4463 4481 4483 4493
4507 4513 4517 4519 4523 4547 4549 4561 4567 4583
4591 4597 4603 4621 4637 4639 4643 4649 4651 4657
4663 4673 4679 4691 4703 4721 4723 4729 4733 4751
4759 4783 4787 4789 4793 4799 4801 4813 4817 4831
4861 4871 4877 4889 4903 4909 4919 4931 4933 4937
4943 4951 4957 4967 4969 4973 4987 4993 4999 5003
5009 5011 5021 5023 5039 5051 5059 5077 5081 5087
5099 5101 5107 5113 5119 5147 5153 5167 5171 5179
5189 5197 5209 5227 5231 5233 5237 5261 5273 5279
5281 5297 5303 5309 5323 5333 5347 5351 5381 5387
5393 5399 5407 5413 5417 5419 5431 5437 5441 5443
5449 5471 5477 5479 5483 5501 5503 5507 5519 5521
5527 5531 5557 5563 5569 5573 5581 5591 5623 5639
5641 5647 5651 5653 5657 5659 5669 5683 5689 5693
5701 5711 5717 5737 5741 5743 5749 5779 5783 5791
5801 5807 5813 5821 5827 5839 5843 5849 5851 5857
5861 5867 5869 5879 5881 5897 5903 5923 5927 5939
5953 5981 5987 6007 6011 6029 6037 6043 6047 6053
6067 6073 6079 6089 6091 6101 6113 6121 6131 6133
6143 6151 6163 6173 6197 6199 6203 6211 6217 6221
6229 6247 6257 6263 6269 6271 6277 6287 6299 6301
6311 6317 6323 6329 6337 6343 6353 6359 6361 6367
6373 6379 6389 6397 6421 6427 6449 6451 6469 6473
6481 6491 6521 6529 6547 6551 6553 6563 6569 6571
6577 6581 6599 6607 6619 6637 6653 6659 6661 6673
6679 6689 6691 6701 6703 6709 6719 6733 6737 6761
6763 6779 6781 6791 6793 6803 6823 6827 6829 6833
6841 6857 6863 6869 6871 6883 6899 6907 6911 6917
6947 6949 6959 6961 6967 6971 6977 6983 6991 6997
7001 7013 7019 7027 7039 7043 7057 7069 7079 7103
7109 7121 7127 7129 7151 7159 7177 7187 7193 7207
7211 7213 7219 7229 7237 7243 7247 7253 7283 7297
7307 7309 7321 7331 7333 7349 7351 7369 7393 7411
7417 7433 7451 7457 7459 7477 7481 7487 7489 7499
7507 7517 7523 7529 7537 7541 7547 7549 7559 7561
7573 7577 7583 7589 7591 7603 7607 7621 7639 7643
7649 7669 7673 7681 7687 7691 7699 7703 7717 7723
7727 7741 7753 7757 7759 7789 7793 7817 7823 7829
7841 7853 7867 7873 7877 7879 7883 7901 7907 7919

bineinteles ca nu le poti afla pe toate cu un algoritm cum ai zis si tu inca. insa s-a demonstrat ca numerele prime nu se termina. chiar incercam sa folosesc demonstratia lor in dimineatza asta sa vad unde ajung. simple observatii.

Q = (P1 P2 P3 P4... Pn) + 1, asta au folosit ei, insa si R de forma R=(p1xp2x....xpn)-1 este prim right?

gasesc ca tipul asta incearca sa manipuleze cam aceiasi observatie facuta de mine in primul post asupra problemei:

http://www.the-origin.org/goldbach.pdf

don_mario001
27.06.2009, 05:29
multumesc raven . ai simtul umorului dezvoltat ( almanahe ) .

Raven
27.06.2009, 10:28
insa s-au generat primele 1000 de numere prime cel putin. de aceea am zis ca pana la vreo 10 000.

ete aici, le pui pe toate intr-o baza de date si mai departe algoritmul de care iti ziceam eu, care iti gaseste suma, e simplu.
Nu asta e problema. Problema este sa se arate ca orice nr. par mai mare ca 2 e suma a doua nr. prime.
Prin inductie ar fi sa se demonstreze ca n + 2 e suma a doua numere prime presupunand ca n e suma a doua numere prime, unde n = 2k pt. oricare k ≥ 1, k Є IN.
Adica sa se arate ca, daca 2k e suma a doua nr. prime atunci si 2(k + 1) e suma a doua nr. prime.

Nu cred ca merge demonstrat prin inductie.


Edit: k ≥ 2.

Georgian@
27.06.2009, 10:38
Nu asta e problema. Problema este sa se arate ca orice nr. par mai mare ca 2 e suma a doua nr. prime.
Prin inductie ar fi sa se demonstreze ca n + 2 e suma a doua numere prime presupunand ca n e suma a doua numere prime, unde n = 2k pt. oricare k ≥ 1, k Є IN.
Adica sa se arate ca, daca 2k e suma a doua nr. prime atunci si 2(k + 1) e suma a doua nr. prime.

Nu cred ca merge demonstrat prin inductie.

stim foarte putine despre numerele prime, stim ca nu se termina, insa nu "comportamentul" lor, recurenta. check this out:

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
3 1
5 3 1
7 5 3 1
9 7 5 3 1
11 9 7 5 3 1
13 11 9 7 5 3 1
15 13 11 9 7 5 3 1
17 15 13 11 9 7 5 3 1
19 17 15 13 11 9 7 5 3 1

pe diagonala ai linii cu numere prime si linii cu numere impare care nu sunt prime/gaps (asa putem scrie un numar par ca suma de numere impare right?), o functie, o interpretare geometrica, still thinking...

don_mario001
01.07.2009, 03:58
Ganditi-va la un numar format din trei cifre . Prima cifra sa fie de cel putin cinci ori mai mica decat cea de-a doua , a treia cifra sa fie 5 , iar diferenata dintre a doua si treia cifra sa fie egala cu prima cifra . Acest numar de trei cifre ,descompuneti-l in patru numere de cate doua cifre fiecare . Mai departe inversati ordinea cifrelor la fiecare din cele patru numere , obtinand astfel alte patru numere noi . Daca se aduna acestea din urma , suma obtinuta sa fie tot numarul de trei cifre de la care am pornit initial . Care este acest numar ?

Georgian@
01.07.2009, 11:27
Ganditi-va la un numar format din trei cifre . Prima cifra sa fie de cel putin cinci ori mai mica decat cea de-a doua , a treia cifra sa fie 5 , iar diferenata dintre a doua si treia cifra sa fie egala cu prima cifra . Acest numar de trei cifre ,descompuneti-l in patru numere de cate doua cifre fiecare . Mai departe inversati ordinea cifrelor la fiecare din cele patru numere , obtinand astfel alte patru numere noi . Daca se aduna acestea din urma , suma obtinuta sa fie tot numarul de trei cifre de la care am pornit initial . Care este acest numar ?

165 <<smile>>.

don_mario001
06.07.2009, 04:00
rapunsurile tale sumt scurte si la obiect ( cu scut sau pe scut - cum le spuneau fiilor lor mamele spartanilor )
multumesc.

don_mario001
06.07.2009, 04:05
daca adunam separaty numerele pare si cele impare de la 1 la 9 , obtinem doua rezultate diferite : 1+3+5+7+9=25 2+4+6+8=20
va rugam , insa , sa adunati numerele formate din aceleasi cifre , inclusiv fractii , folosind bineanteles , numai cate o singura data cifra respectiva , astfel incat sumele obtinute sa fie aceleasi , atat pentru grupa de cifre pare cat si pentru cea de cifre impare .

Georgian@
06.07.2009, 09:54
daca adunam separaty numerele pare si cele impare de la 1 la 9 , obtinem doua rezultate diferite : 1+3+5+7+9=25 2+4+6+8=20
va rugam , insa , sa adunati numerele formate din aceleasi cifre , inclusiv fractii , folosind bineanteles , numai cate o singura data cifra respectiva , astfel incat sumele obtinute sa fie aceleasi , atat pentru grupa de cifre pare cat si pentru cea de cifre impare .

:-? nu prea inteleg ce zice problema asta:)

don_mario001
07.07.2009, 05:31
Adunarea numerelor formate din cifre pare , cat si a celor din cifre impare da acelasi rezultat , astfel :

79+5+1/3=84 1/3
84+2/6=84 1/3

don_mario001
07.07.2009, 05:36
efectuati opt impartiri , utilizand la alcatuirea deampartitului , impartitorului si rezultatului cate o singura data cifrele de la 1 la 9
primele doua impartiri iata-le :

13458:6729=2

17469:5823=3

... =4

... =5

... =6

... =7

... =8

... =9

don_mario001
12.07.2009, 02:03
iata celelalte 7 impartiri
15768:3942=4 16758:2394=7

13485:2697=5 25496:3187=8

17658:2943=6 57429:6381=9

kirk
15.08.2009, 11:16
Se dau numerele: a = 2000*2001 + 2001*2000 si b = 2000*2000 + 2001*2001
Care este mai mare?

N0ta:a se citi 2000 la puterea 2001 (2000*2001)

Georgian@
15.08.2009, 11:50
Se dau numerele: a = 2000*2001 + 2001*2000 si b = 2000*2000 + 2001*2001
Care este mai mare?

N0ta:a se citi 2000 la puterea 2001 (2000*2001)

b este mai mare cu 2000(2001-1999)=4000 decat a!

aramis_13
15.08.2009, 13:19
b mai mare dect a cu 3,9452125949389182900002305529503E+6605

kirk
15.08.2009, 13:29
Georgiana@, cred ca ar fi util cand dam un raspuns sa spunem si cum am facut. Ma gandesc ca unii forumisti ar dori sa stie si cum s-a ajuns la acel rezultat.
Eu am facut scaderea "b-a".
Avem: b - a = 2000*2000 + 2001*2001 - 2000*2001 - 2001*2000 = 2000*2000 (1 - 2000) + 2001*2000 (2001 - 1) = 2000 x 2001*2000 - 1999 x 2000*2000 - mai mare ca zero.
Tu cum ai ajuns la acel 4000?