putina matematica

[Georgian@]

Georgiana@, cred ca ar fi util cand dam un raspuns sa spunem si cum am facut. Ma gandesc ca unii forumisti ar dori sa stie si cum s-a ajuns la acel rezultat.
Eu am facut scaderea "b-a".
Avem: b - a = 2000*2000 + 2001*2001 - 2000*2001 - 2001*2000 = 2000*2000 (1 - 2000) + 2001*2000 (2001 - 1) = 2000 x 2001*2000 - 1999 x 2000*2000 - mai mare ca zero.
Tu cum ai ajuns la acel 4000?

scuze, ai dreptate, am uitat sa pun puterea si de aceea mi-a dat 4000, in fine, ma grabeam sa plec la serviciu si am facut-o asa la vedere.

[kirk]

In triunghiul ABC de arie 72cm², lungimile a doua mediane sunt respectiv 9cm si 12cm. Sa se afle lungimea celei de a treia mediane.

[Georgian@]

In triunghiul ABC de arie 72cm², lungimile a doua mediane sunt respectiv 9cm si 12cm. Sa se afle lungimea celei de a treia mediane.

a treia mediana e 15, cel mai simplu cu teoria lui Heron.

[kirk]

Corect rezultatul, Georgiana. Cu "teoria lui Heron" n-am incercat. Mi se pare complicat de lucrat aici cu formula A²=s(s-a)(s-b)(s-c), daca la asta te-ai referit.
Varianta incercata de mine:
Fie A', B', C' mijloacele laturilor BC, CA, AB si G centrul de greutate. Alegem BB'=9 si CC'=12, deci BG=6 si CG=8
Folosind Aria BGC= Aria BGA= AriaAGC deducem Aria BGC = 1/3 Aria ABC = 24. Se observa ca (BG x CG)/2 = (6 x 8)/2 =24 =Aria BGC, deci tr. BGC este dreptunghic in G. Atunci BC = 10 si mediana GA' = 1/2BC = 5. Rezulta ca AA' = 3GA" = 15.
O problema este cu atat mai frumoasa cu cat se poate rezolva in mai multe feluri.

[Georgian@]

Corect rezultatul, Georgiana. Cu "teoria lui Heron" n-am incercat. Mi se pare complicat de lucrat aici cu formula A²=s(s-a)(s-b)(s-c), daca la asta te-ai referit.
Varianta incercata de mine:
Fie A', B', C' mijloacele laturilor BC, CA, AB si G centrul de greutate. Alegem BB'=9 si CC'=12, deci BG=6 si CG=8
Folosind Aria BGC= Aria BGA= AriaAGC deducem Aria BGC = 1/3 Aria ABC = 24. Se observa ca (BG x CG)/2 = (6 x 8)/2 =24 =Aria BGC, deci tr. BGC este dreptunghic in G. Atunci BC = 10 si mediana GA' = 1/2BC = 5. Rezulta ca AA' = 3GA" = 15.
O problema este cu atat mai frumoasa cu cat se poate rezolva in mai multe feluri.

exact! merge si asa si e mai putin de calculat, insa mai mult de demonstrat si observat!

[kirk]

Georgiana, am vrut demult sa te intreb. Am fost surprins cat de repede si elegant ai rezolvat problema #143 de la pag. 15. Ai stiut-o cumva dinainte? Te intreb doar din curiozitate. Imi raspunzi numai daca vrei, bineinteles.

[Georgian@]

Georgiana, am vrut demult sa te intreb. Am fost surprins cat de repede si elegant ai rezolvat problema #143 de la pag. 15. Ai stiut-o cumva dinainte? Te intreb doar din curiozitate. Imi raspunzi numai daca vrei, bineinteles.

nu, daca te referi la problema cu furnica, nu o stiam dinainte, la inceput am avut si eu aceiasi impresie ca ceilalti, ca orice drum e egal, nu am raspuns imediat si mi-a ramas in cap, si faceam calculele pentru orice situatie. uite asa dupa cateva zile, parca eram in bucatarie, gateam, mi-am dat seama ca pentru acea situatie s-ar putea sa dea o valoare mai mica, am facut calculul si a dat. si apoi ti-am raspuns.

in general, cand sunt chestiuni de demonstrat incerc sa ghicesc rezultatul sau sa analizez ce se intampla( poti face programe care iti pot genera toate valorile unei functii, spre exemplu). mai departe sunt chestiuni pe care mi le amintesc din liceu, sau de care macar am habar si dau search pe net. spre exemplu la ultima problema, stiam de formula, dar nu-mi mai aminteam cum se numeste sau cum arata, asa ca am cautat pe net.

[kirk]

Pentru iubitori de arta...geometrica:
Pe laturile AB si AC ale unui triunghi echilateral ABC se considera punctele M si respectiv N, astfel incat AM = CN = 1/3 din AB. Fie P piciorul perpendicularei coborate din A pe BN. Sa se demonstreze ca M, P si C sunt coliniare.

P.s. Da, Georgiana, la problema cu furnica m-am referit.

[Georgian@]

Pentru iubitori de arta...geometrica:
Pe laturile AB si AC ale unui triunghi echilateral ABC se considera punctele M si respectiv N, astfel incat AM = CN = 1/3 din AB. Fie P piciorul perpendicularei coborate din A pe BN. Sa se demonstreze ca M, P si C sunt coliniare.

P.s. Da, Georgiana, la problema cu furnica m-am referit.

NPC=180-PNC-NCP=180-(180-60-NBC)-(60-PCB)=PCB+NBC=(180-PMB-60)+(60-MBP)=180-PMB-MPB=MPB

MPC=MPB+BPC=NPC+BPC
NPC+BPC=180

Deci MPC=180, rezulta ca M P si C sunt coliniare.

[kirk]

Mi se pare mie, sau ceva nu e-n regula cu demonstratia de mai sus, Georgiana? Cred ca tu ai plecat de la premiza ca punctul de intersectie dintre BN si CM este unul si acelasi cu piciorul perpendicularei din A pe BN, ceea ce de fapt trebuie demonstrat.
Daca gresesc, te rog sa-mi spui.

[Georgian@]

Mi se pare mie, sau ceva nu e-n regula cu demonstratia de mai sus, Georgiana? Cred ca tu ai plecat de la premiza ca punctul de intersectie dintre BN si CM este unul si acelasi cu piciorul perpendicularei din A pe BN, ceea ce de fapt trebuie demonstrat.
Daca gresesc, te rog sa-mi spui.

nop.

am plecat considerand ca cele 3 puncte fac un unghi MPC si am demostrat ca acel unghi e 180, deci ele sunt coliniare. nu am folosit nici unde ca BN intersecteaza pe CM in P(piciorul perpendicularei). am unit M cu P si C cu P, mi-au dat niste triunghiuri si folosind unghiurile am ajuns la concluzia ca CPN=MPB si de acolo vezi si tu.

pot face desen, dar avand in vedere ca am 3 midterms saptamana viitoare, trebuie sa astepti pana dupa.

enjoy!

[kirk]

PCB+NBC=(180-PMB-60)+(60-MBP)

Cand l-ai identificat pe PCB cu 180-PMB-60, automat ai considerat cele trei puncte ca fiind coliniare. Am I right?

[Georgian@]

Cand l-ai identificat pe PCB cu 180-PMB-60, automat ai considerat cele trei puncte ca fiind coliniare. Am I right?

yup, i guees you're right! abia acum vad, scuze!

[kirk]

A rezolvat cineva problema? Daca nu, saptamana viitoare am sa postez eu o varianta de rezolvare. Nu cunosc versiunea oficiala a rezolvarii ei, dar sper ca si varianta propusa de mine sa fie corecta.

[kirk]

Deci, cum ziceam...
Punem problema invers. Notam punctul de intersectie dintre BN si CM cu P si ne propunem sa demonstram ca AP este perpendiculara pe BN.
Unghiul BNC este egal cu unghiul AMC (se opun la laturi egale in triunghiuri egale). BNC+BNA=180 deci AMC+BNA=180 deci patrulaterul AMPN este inscriptibil.
Fie Q punctul care imparte pe AN in doua parti egale. Q este egal departat de punctele A,M si N (tr. AMQ este echilateral) si este deci centrul cercului circumscris tr. AMN, AN fiind diametru in acest cerc.
Evident, cercul circumscris lui AMN este acelasi cu cercul circumscris lui AMPN.
Unghiul APN=90, fiindca se sprijina pe un semicerc.

[aramis_13]

când eram în anul 1, la examenul de an la algebră am avut o problemă cu matrici şi determinanţi. problemă complicată, la care m-am poticnit pe undeva pe la jumătate. următorul pas nu îmi venea în minte. ştiam unde trebuie să ajung, aşa că am luat-o de la sfârşit, făcând paşii înapoi. din păcate m-am împotmolit din nou, la acelaşi pas. îmi lipsea "veriga". m-am chinuit ce m-am chinuit, nu i-am dat de cap, aşa că am scris-o aşa cum mi-a ieşit, aplicând o "formulă" ad-hoc. mă gândeam că 4 pagini de rezolvare, cu un rezultat corect, o să îl facă pe profesor să nu observe micul meu artificiu. ghinionul meu, ceilalţi colegi încă se chinuiau cu examenul când eu terminasem. profesorul mi-a luat lucrarea şi s-a apucat de corectat (şi avea timp să parcurgă tot). când a ajuns la "formulă" s-a oprit şi a luat-o de la capăt. a verificat rezultatul final şi a parcurs din nou toţi paşii. evident, "formula" era cu bucluc. m-a chemat din bancă şi mi-a spus "Aramis, uite aici nişte foi de hârtie. treci la loc şi dacă reuşeşti să demonstrezi formula asta, ne-am scos amândoi: intrăm în istoria matematicii". evident că nu am avut ce demonstra, aşa că am renunţat într-un final.
de ce această mică povestire? pentru că demonstraţia ta kirk, elegantă de altfel, suferă de aceeaşi meteahnă ca şi problema mea: "formula". în cazul tău, e vorba de
Evident, cercul circumscris lui AMN este acelasi cu cercul circumscris lui AMPN.

este "evident" că în orice triunghi înscris într-un cerc în care una din laturi este diametrul cercului, unghiul opus acelei laturi are valoarea de 90. tot ce trebuie să demonstrezi e că în triunghiul inscriptibil APN latura AN este diametrul cercului circumscris. deocamdată nu ai demostrat-o ci ai presupus-o.

[kirk]

Aramis, ma bucur ca participi si tu pe acest topic.
Mai intai, vad ca ai subliniat afirmatia mea "evident, cercul circumscris lui AMN este acelasi cu cercul circumscris lui AMPN". Nu este clar de ce ai subliniat-o. Ca nu esti de acord cu ea, sau ca esti? Presupun ca esti (pentru ca e evident). Atunci restul vine de la sine. Daca Q este egal departat de punctele A,M si respectiv N, el este centrul acestui cerc, iar AN este diametru pentru ca trece prin centrul Q.
Daca totusi imi scapa ceva, te rog sa-mi spui.

[aramis_13]

păi tocmai asta e, că ai făcut o afirmaţie în loc să faci o demonstraţie. de ce e evident că patrulaterul ANPM se înscrie în acelaşi cerc ca şi triunghiul ANM?

aşa poţi să afirmi de la bun început că AP este perpendiculară pe BN, doar e "evident", se vede cu ochiul liber când faci figura.

îţi explic altcumva: ai început bine. dar trebuie să demonstrezi că punctul P aparţine cercului de rază AM cu centrul în Q. or tu nu ai făcut-o.

[kirk]

Sa facem putin abstractie de problema de mai sus si sa consideram un patrulater oarecare inscriptibil ABCD (de fapt nu e oarecare ca e inscriptibil). Si sa dam si un nume cercului care il circumscrie, sa zicem cercul C1. Fiecare din cele 4 puncte (A,B,C si D) se afla pe acest cerc C1. Trebuie sa mai demonstram asta? Nu, ca e evident (se da in ipoteza). Acum, daca toate cele 4 puncte se afla pe acest cerc C1, cu atat mai mult numai 3 dintre ele, sa zicem A,B si D, se afla pe cercul C1; nu trebuie demonstrat. Deci triunghiul ABD are toate cele 3 varfuri pe C1; C1 este deci cercul lui circumscris (un triunghi nu poate sa aiba doua cercuri circumscrise). Acelasi lucru pentru oricare alta combinatie de trei: ABC, ACD sau BCD. Toate cercurile circumscrise acestor triunghiuri sunt unul si acelasi cu cercul circumscris patrulaterului.
In mod similar. La problema de mai sus, am demonstrat mai intai ca patrulaterul AMPN este inscriptibil. Apoi am spus ca triunghiul AMN este inscris in acelasi cerc in care este inscris patrulaterul (pentru ca are toate varfurile pe acest cerc). In continuare am gasit si centrul cercului (Q) pentru ca se afla egal departat de cele trei varfuri A,M si N, iar AN este diametru pentru ca trece prin centru. Punctul P nu mai trebuie demonstrat ca se afla pe acest cerc, pentru ca de acolo am plecat, de la un cerc care contine punctele A,M,P si N.

[aramis_13]

kirk, las-o baltă. demonstraţia ta e una circulară. dacă ai citit pe aici, e ceva de genul a ce îi spuneam lui lostjohn. în geometrie (plană sau spaţială, nu are importanţă) nu poţi doar pur şi simplu să presupui ceva şi apoi să iei acel ceva ca şi axiomă. da, poţi face o presupunere (ca de exemplu că AMPN este patrulater inscriptibil) dar atunci trebuie ca în final să demonstrezi valoarea de adevăr a acestei presupuneri. adică să araţi de exemplu că şi QP este egal cu QA, adică cu raza cercului.
tu ai făcut aşa:AQN fiind coliniare, patrulaterul AMPN este inscriptibil, deci unghiul APN = 90. greşit! nu aşa se rezolvă o problemă.

[kirk]

Bine, sunt de acord sa incheiem discutia. Poate vine si o a treia persoana (eventual georgiana) sa isi dea cu parerea.

[encore]

de ce e evident că patrulaterul ANPM se înscrie în acelaşi cerc ca şi triunghiul ANM?

Pai si mie mi se pare evident. Orice triunghi nu poate avea decit un singur cerc care sa i se circumscrie, nu? Deci cercul circumscris triunghiului ANM este unic. Deci, orice patrulater care contine punctele A, N si M si care este inscriptibil va trebui - forcement - sa aiba al patrulea colt pe acel unic cerc circumscris triunghiului ANM. P.mea ...

[aramis_13]

hai că fac eu demonstraţia:

http://inlinethumb42.webshots.com/34985/2768314080104321694S600x600Q85.jpg (http://good-times.webshots.com/photo/2768314080104321694rhjRSh)

de îndată ce fac rost de un compas, pun şi figura.

[kirk]

Ziceam candva ca o problema este frumoasa cand se poate demonstra in mai multe feluri. Uite aici inca o varianta:
Nu o mai iau de la inceput, presupun ca e clar acum ca AMPN este inscriptibil (P fiind intersectia lui BN cu CM).
Acum, ca sa demonstram ca APN este de 90 de grade, este suficient sa aratam ca AMN este de 90 de grade. De ce spun asta, pentru ca APN=AMN (se sprijina pe acelasi arc de cerc). Sa vedem cum aratam ca AMN=90. Simplu, aratand ca MN este paralela cu inaltimea care cade din C pe AB. Fie D piciorul acestei inaltimi (care este si mediana). MD=1/6 din AB (1/2 din 1/3). Deci raportul AM/MD=2. Dar si AN/NC=2. Deci MN este paralela cu CD (teorema lui Tales); unghiul AMN=90. Deci si APN=90.

[aramis_13]

tot nu ai înţeles nimic, aşa că hai s-o lăsăm baltă. nu te mai complica cu demonstraţii aiurea.

[kirk]

tot nu ai înţeles nimic, aşa că hai s-o lăsăm baltă. nu te mai complica cu demonstraţii aiurea.

aramis, nu pentru tine scrisesem postarea de mai sus. Cu tine o lasasem balta mai dinainte. Am spus sa mai asteptam poate vine si o a treia persoana sa isi dea cu parerea. A treia persoana a venit si ai vazut ce a zis. Ce ar mai trebui? Sa o asteptam si pe a patra?
In ce priveste varianta a doua de demonstratie, pe care am postat-o mai sus, am scris-o pentru cei care pricep matematica cat de cat. Daca tu nu pricepi, nu-i nicio problema, nu este o rusine. Nu toti (inclusiv eu) se pricep la toate. Unul e bun la chimie, altul la istorie, altul la cismarie s.a.m.d. Daca nu intelegi ceva, intreaba sau stai linistit in banca ta. Ambele variante merg.
Acum, pentru ceilalti forumisti care urmaresc acest topic. Va rog sa revedeti si voi firul problemei. Nu va ia decat cateva minute. Problema este postata la #258 (pag.26), iar solutia propusa de mine este la #265 (pag.27). La un moment dat, am demonstrat ca patrulaterul AMPN se inscrie intr-un cerc. Pana aici aramis a fost de acord cu mine. El contesta insa afirmatia mea ulterioara: "evident, cercul circumscris tr. AMN este acelasi cu cercul circumscris patrulaterului AMPN" si ma intreaba (vezi postarea #268) de ce este evident acest lucru. Pai tr. AMN se inscrie si el in cercul in care s-a inscris patrulaterul AMPN pentru simplul motiv ca are toate varfurile pe acest cerc. Este atat de clar, ca si un copil de clasa a IV-a ar intelege.
Ca sa nu mai vorbim ca demonstratia facuta de el la #273 este, in esenta, aceeasi cu cea facuta de mine. Singura "mare" diferenta este ca el a notat intersectia dintre BN si CM cu o litera, iar eu am notat-o cu alta (el a notat-o cu R, iar eu cu P). Spuneti si voi!

[aramis_13]

cum între timp presupunerea că AMPN este inscriptibil a fost înlocuită cu demonstraţia, orice aş spune e irelevant. ne vedem data viitoare.

[kirk]

Era odata un patrat. Se numea ABCD. Si in interiorul lui un triunghi echilateral ABE. Convietuiau asa de mult timp in pace si intelegere. La un moment dat, diagonala AC a intersectat latura BE a triunghiului in punctul P. Nu a fost un incident grav, nu s-a soldat cu pagube. Intr-o zi insa puncul P s-a gandit sa-si construiasca un punct simetric fata de latura CD a patratului, si anume punctul F (adica din P s-a dus o perpendiculara pe CD si s-a prelungit cu o distanta egala pana in F). Aici lucrurile au inceput sa se complice, pentru ca cineva (nu stiu exact cine, din partea autoritatilor) a cerut sa se demonstreze ca triunghiul CEF este echilateral. Mai sa fie! Oare chiar o fi echilateral? Voi ce credeti?

In momente de plictiseala, mai ale acum iarna, in timp ce stati la gura fire-place-ului, poate va face placere sa mai frunzariti putin prin cartea cu povesti geometrice.

[JulianM]

Bonjour !

Am găsit și un colțișor cu Matematică (poate ar trebui sa creez unul special, axat pe Olimpiade.
De Mate din zona universitară nu mai vorbesc ... chiar cred ca ar fi un pic cam mult ... enfin...)

Propun o problemă care a căzut (doar) la o olimpiadă locală (nu mai știu însă anul). Știu ca mie mi s-a părut interesantă ...

-------------------------------------------
O.L.M., cls 10 :

A, B, C au afixele z1, z2, z3. (deci 3 puncte în plan <---> 3 nr. complexe)
Dacă:

z1*z2 + z2*z3 + z3*z1 este nr. real (deci partea imaginara e nula ..etc)

atunci A, B, C sunt coliniare.
-------------------------------------------
Notă: Am notat z conjugatul lui z (nu am putut pune bara în partea de sus - și nu m-am mai plimbat prin editoare) .

Indicație: 2 vectori v1 și v2 sunt coliniari dacă exista un nr. real "a" astfel încât v1*a = v2.

Julian _____ :d

P.S.

Pe forumurile românești de Mate sufla vântul (vorbesc de forumuri, deci ca acesta).
Am găsit totuși 2 destul de bune (unul de lb. engleza - condus de 1 roman ! - și altul de lb. franceza ... Dar as fi vrut acum și unul de lb. româna ... Enfin ...)

[JulianM]

:calcul:

Hi !

(Nu mi-a convenit deloc ca pozele puse la PhotoBucket ocupa tot ecranul ! ...deși am încercat sa le prelucrez pe acolo..degeaba... am renuntat...

Ma dusei repede și-mi făcui un cont nou la Flickr fiindcă am uitat sa notez cu ce adresa m-am înscris la celalalt !!!...LOL... - în fine.
Am pus acolo o poza "făcuta" repede cu Paint Shop Pro)

--------------------------------
Problema asta a căzut la o olimpiada cls a 8-a, prin anii 70 (din câte mi-aduc aminte). Sa o numesc Tabla de șah și piesele de domino.

Este evident ca o tabla de șah 8 X 8 (sau 2n X 2n - la cazul general) se poate acoperi integral cu piese de domino, fără ca piesele sa se suprapună.
Tăiem 2 pătrățele de la capetele unei diagonale.
Sa se arate ca nu mai poate exista o acoperire ca atunci când tabla de șah era completa.




http://farm5.static.flickr.com/4021/4464514109_e5fa5ff299.jpg

(Am desenat tabla de șah "tăiată" precum și o piesa de domino - piesa de domino e un dreptunghi cu lungimea = de 2 ori lățimea, deci formata din 2 pătrate cu latura egala cu latura unui pătrat de pe tabla de șah).

Problema fiind destul de banala ...ar trebui sa fie rezolvata foarte rapid !!!

Julian ______
:calcul:

P.S. Pozele rămâneau tot mari în Photobucket (chiar dacă acolo le redimensionam) fiindcă link-ul rămânea în Istoric și browser-ul îl lua de acolo ... și arata tot mare. In fapt el arata asa :

http://i906.photobucket.com/albums/ac267/julianmscl/MATHS/ChessDomino.jpg

Cum eu eram convins de altceva (ca motivul era altul) am reintrat acolo sa fac "o chestie" și am văzut ca de fapt poza era mica.
Dar intre timp curățasem Istoricul (cum fac cel puțin din ora în ora) si atunci o arata bine.

Nu cred ca e chestie de timp (pana sa-l prelucreze la ei pe server)...

[JulianM]

Bonjour !

Astăzi s-a desfășurat proba pe clase la ONM = Olimpiada Națională de Matematica, la Iași.

Proba de Baraj pentru constituirea lotului olimpic lărgit se va desfășura poimâine.

-------
In ce privește problema de mai sus (pagina precedentă de fapt) cu tabla de șah:
- O plăcuță (piesă) de domino acoperă întotdeauna o căsuță (pătrățel) albă și una neagră (galben / maro închis ...pt poza de mai sus).

- la început erau un număr egal de căsuțe albe și negre

- prin eliminarea a 2 căsuțe de pe o diagonală (la extremități, asa cum se specifica în pb) se elimina fie 2 căsuțe albe fie 2 negre --> nu mai poate exista o acoperire, deoarece numărul căsuțelor albe nu mai este egal cu numărul căsuțelor negre. QED
:calcul:

[robicos]

Calculul patratului unui numar de doua cifre a carui ultima cifra este 5 fara sa-l facem cu calculatorul :

exemplu :
75 x 75 = 5625 (7x8 la care se adauga 25)
85 x 85 = 7225 (8x9 la care se adauga 25)

[Georgian@]

Calculul patratului unui numar de doua cifre a carui ultima cifra este 5 fara sa-l facem cu calculatorul :

exemplu :
75 x 75 = 5625 (7x8 la care se adauga 25)
85 x 85 = 7225 (8x9 la care se adauga 25)

interesant:ideea:

[JulianM]

interesant:ideea:
Da interesant ! ... Nu stiam asta ...

Apropo de Barajele pt constituirea lotului olimpic largit: nu s-a dat problema mea. Dar ma cam asteptam. Solutia este pe 2 pagini ... fara sa iau in calcul niste diagrame pt o mai buna intelegere a pasilor ...

In fine, o sa scriu un articol (in Latex) si il trimit la Gazeta Matematica - am inteles ca acolo s-ar redacta in Latex (m-am chinuit un pic sa scriu problema cu tot cu rezolvare in Latex , utilizand MiKTeX 2.8 iar ca editor TeXnicCenter - astea 2 mi s-au parut de departe cea mai buna varianta...)

:calcul:

[aramis_13]

desigur se mai întâmplă şi de astea: să fi tobă la matematică şi să nu ştii micile trucuri ale tablei înmulţirii ...dar niciodată nu e prea târziu să înveţi.

[JulianM]

Lotul olimpic de matematică al României a obţinut 6 medalii – două de aur şi patru de argint – şi locul I pe naţiuni, la a XXVII-a ediţie a Olimpiadei Balcanice de Matematică pentru seniori, desfăşurată în perioada 2 – 7 mai, în Republica Moldova, la Chişinău.

Potrivit unui comunicat de presă al Ministerului Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului, remis vineri, 7 mai, medaliile de aur au fost obţinute de Radu Bumbăcea de la Colegiul Naţional de Informatică “Tudor Vianu” din Bucureşti şi de Octav Drăgoi – elev al Liceului Internaţional de Informatică din Bucureşti.


Gabriel Pădurariu, elev la Colegiul Naţional “Grigore Moisil” din Oneşti, Omer Cerrahoglu de la Colegiul Naţional “Vasile Lucaciu” din Baia Mare, Filip Andrei Chindea şi Ştefan Ivanovici, ambii elevi ai Liceului Internaţional de Informatică din Bucureşti, au intrat în posesia medaliilor de argint.


La ediţia din acest an au luat parte peste 130 competitori din 20 de ţări (11 în concurs şi 10 cu statut de invitat). Olimpiada Balcanică de Matematică (OBM) are statut de concurs regional.
Fiecare stat participant, cu excepţia celui organizator, are dreptul să înscrie în concurs o echipă formată din maximum 6 elevi din învăţământul liceal, a căror vârstă nu depăşeşte 20 de ani la data desfăşurării competiţiei.
Elevii români vor reveni în ţară, sâmbătă, a menţionat sursa citată.


Sursa: Financiarul.ro


(P.S.
- Mi-aduc aminte ca eram clasa a 9-a când a fost organizată prima OBM, la Atena (nu am intrat în lot în acel an).
Atunci toți elevii au luat maximul de puncte (40), cu excepția unuia care a pierdut 2 puncte. Acum vad pe un site : 36, 35, 34, 29, 27, 25 șirul notelor elevilor români.
- Omer Cerrahoglu a luat 34 (deci argint). El este acum cls 9-a, iar anul trecut a luat premiul 1 la OIM ! ... )

[JulianM]

noi romanii suntem de principiul : eu castig deci sunt destept si tu pierzi deci esti prost ! unii incearca sa construiasca si altii sa strice ! ....am casa mai frumosa de cat tine !!! .... o sa mai treaca timp pana cand vom intelege ca principil win-win ne va face puternici in comparatie cu alte natii ..... pana atunci ne luptam intre noi ca fraierii

Right ... dar asta nu e numai la noi ...

Cum ar spune cineva: "Nothing wrong. Your answer is perfect" - aplicat pt situațiile când cel mai deștept cedează - vezi penultima postare de pe forumul cu link-ul dat mai jos...

Voilà une toute petite histoire sur un forum (ArtOfProblemSolving) - début d'avril 2010 ... (LINK (http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=36&t=342876&p=1834992#p1834992)) ...

Nu trebuie neapărat să studiați problema de Matematică ...

E vorba de :

- Bogdan Enescu și un parizian slăbuț în Mate (deși are peste 4000 de postări ... dar nu-l putem compara cu un adevărat olimpic ... Nu are stofă ...)

- B. Enescu ... premiu 1 la OIM 1978, premiu 2 la OIM 1979 ... El merge destul de des cu olimpicii romani la OIM ... (nu a vrut niciodată să plece "în afară" ... Deși are doctoratul de mult timp el a preferat întotdeauna să fie prof. la el la Buzău ...)

- "Parizianul" vorbește aiurea (pe forum se discută în engleză) și îl "repede" un pic pe Bogdan Enescu, fără măcar să știe cine e B.E. ... Zice parizianul la început asa:
Are you kidding me ? http://www.artofproblemsolving.com/Forum/images/smilies/mad.gif

... și termina cu :

What is wrong with my answer ?

- Ce răspunde Bogdan Enescu ? Zice doar atât : "Nothing wrong. Your answer is perfect". ... Si a scăpat de el ... (l-am "felicitat", acordându-i acea "reputation" ... + un mic text ...)

- Parizianul răspunde apoi :
Cool, thanks http://www.artofproblemsolving.com/Forum/images/smilies/smile.gif
(nu sesizase mare lucru din tenta răspunsului dat de B.E. ...)

(PS - răspunsul parizianului era o idioțenie dpdv matematic ...
Foarte pe scurt ne putem imagina asa:
Problemă: se poate numărul 15875544486677 descompune în produs ?
Si parizianul răspunde: da, îl scriem ca 2 * (15875544486677/2) ...
Joli, non ? ...)

:lol:

[encore]

Pai raspunsul corect care e: se poate descompune sau nu?

[aramis_13]

depinde ce vrei să factorizezi. ecuaţia în sine sau un număr. matematică de clasa a 5-a. doar că Julian nu a explicat bine problema ...

[encore]

Pai "a se descompune" inseamna de fapt a nu fi numar prim, nu? Deci intrebarea e echivalenta cu a intreba daca numarul ala e prim sau nu? Si pina la urma este sau nu este?

[aramis_13]

nu e ... cel din problemă ... nu ăla pe care l-a pus Julian aici.

[JulianM]

Pai raspunsul corect care e: se poate descompune sau nu?

Se poate.
Dar mai întâi câteva detalii despre problemă (cu toate că asta era ceva secundar ...)

http://oi53.tinypic.com/33lo845.jpg


Bogdan Enescu dă niște "indicății" ...

http://oi52.tinypic.com/2q0t46b.jpg


Parizianu' o ține pe-a lui (și zice că e corect cum spune el ...)

http://oi51.tinypic.com/jab97r.jpg


B. Enescu îi rezolvă și problema !...

http://oi54.tinypic.com/f4eow3.jpg

Parizianu' îi dă replica pe care am pus-o în postarea #9 (pagina precedentă, unde am lăsat și un LINK spre postările de pe forumul respectiv ...)

[aramis_13]

revino, da' la secţiunea matematică, că sunt curios să înţeleg şi eu versiunea lui enescu.

[JulianM]

revino, da' la secţiunea matematică, că sunt curios să înţeleg şi eu versiunea lui enescu.

http://oi55.tinypic.com/suw08g.jpg


deci formula care se aplică la Expresia 1 este ultima din poza asta :


http://oi54.tinypic.com/f4eow3.jpg

[aramis_13]

şi cu era greşită rezolvarea francezului?

[JulianM]

şi cu era greşită rezolvarea francezului?

Unul din factorii pe care i-a folosit el în "descompunere" era 2, adică o constantă. In asemenea gen de probleme constantele nu sunt admise ca factori.
Nici o descompunere de genul rad(E)*rad(E) nu e admisă decât dacă demonstrezi că rad(E) e natural indiferent de valoarea lui n (am notat rad ca fiind radicalul și cu E expresia dată...)

Nefiind vorba de polinoame (unde lucrurile sunt foarte bine așezate și definite), în asemenea probleme se subînțelege că ambii factori trebuie să-l conțină pe n - ca s-o spunem direct.
In nici un caz constante ! ... Asa ceva nu se admite la acest gen de probleme

Iar la problema dată - care este ce-i drept cam neglijent formulată, la așa probleme verifici măcar să nu se împartă cu 2, 3, 5 și eventual formulezi cererea ca fiecare factor să se modifice în funcție de n - ceea ce e totuna cu faptul că nu este constant - ... altfel cuiva neobișnuit cu asemenea probleme i-ar putea veni "idea" sa folosească unul din factori [(n/2)*(2/n)] adică 1 ... Dar factorul rămâne mereu 1 indiferent de valoarea lui n. Dar toate precizările astea nu apar în general în asemenea probleme.

Eu cred că chestia cu "modificarea factorului în funcție de n" (sau a faptului că "nici un factor să nu fie o constantă") este absolut suficientă, și asta împiedică orice rezolvitor să caute constante, de ex. să vadă dacă expresia se împarte la 11 indiferent de n ...

In plus în culegeri asemenea probleme se dau acolo unde se testează aplicarea unor formule cum e cea de mai sus cu scrierea lui
a^3 + b^3 + c^3 - 3abc

[aramis_13]

aha. bine ...

[JulianM]

Am pus 3 postări pe un forum de Mate. Cred că e cel mai bun forum de Mate din lume, dar e cam axat pe probleme de olimpiade, și sunt și probleme ce țin de cercetare - Eu la favorite am băgat vreo 30 de forumuri/site-uri de Mate, și cred că ăla e cel mai bun ...

Are și un mic "sub-forumuleţ" pt limba română, dar văd că nu prea scrie nimeni acolo ...
Pe forum se scrie direct în Latex când ai nevoie (eu am scris în TeXnicCenter ... doar la a 3-a postare am scris un pic direct în Latex) , așa că enunțurile de aici sunt scrise de d-l Dan Schwarz (doar la a 3-a e scrisă de mine, acum 1 an).


Olimpiada Națională de Matematică e la Oradea anul asta (16-21 aprilie).
OIM este în Olanda (WOW !!!)

O să pun poze (câte 2 pt fiecare postare) ca să nu se umfle baza de date.

D-l Dan Schwarz (cu care am avut un schimb de 3 PM-uri consistente) este unul din Matematicienii care se ocupă de lotul României la OIM (el a luat premiul 2 la OIM în 1970, a stat 21 de ani în Canada ... de câțiva ani s-a întors ... deduc deci că a plecat înainte de 1990 ...)

---------

Prima postare

http://img155.imageshack.us/img155/9717/image1mcw.png


http://img141.imageshack.us/img141/8871/image2qi.png


A doua postare

http://img820.imageshack.us/img820/8463/image3cc.png


http://img576.imageshack.us/img576/3313/image4ce.png

A treia postare

http://img585.imageshack.us/img585/787/image5xl.png

http://img822.imageshack.us/img822/5161/image6fj.png

[JulianM]

3 probleme dintr-o carte celebră ... La 2 din ele am dat soluții diferite și mai scurte - pun aici doar pozele (am "pozat" postările de pe forumul de Mate, puse acum 1-2 zile ...)
Am găsit soluțiile pur și simplu "jucându-mă" acum 3-4 zile cu pb. 3.28 (dar la un moment dat mi-am dat seama și de ce găsisem acum vreo 4-5 ani ... adică de demonstrația la pb 3.24 ...)

Puteți compara cu soluțiile din carte (la Gigapedia vă faceți cont gratuit și descărcați foarte multe cărți (din orice domeniu) în format pdf sau djvu - pt care instalați WinDjView, e gratuit și e cam la fel ca Adobe Acrobat Reader ... dar e mai mititel ...)

--------------------

http://img132.imageshack.us/img132/4343/image1xt.png

http://img824.imageshack.us/img824/1959/image2mf.png

http://img263.imageshack.us/img263/6458/image3uj.png

http://img709.imageshack.us/img709/8440/image4id.png

http://img148.imageshack.us/img148/254/image5en.png

[Raven]

My beef cu matematica, cu stiintele "exacte" in general sunt conventiile.
Ex. 1/0 = ∞ , 1/∞ = 0 (orice nr. nenul impartit la zero e infinit si orice nr. nenul impartit la infinit e zero).

Adica impartim ceva masurabil la ceva nemasurabil si stabilim ca trebuie sa ne dea ceva nemasurabil. Despre ambele nemasurabile nu stim nimic. Dar stabilim ca exact asa trebuie sa ne dea, nemasurabilul respectiv, mai si indicam care nemasurabil sa fie.
Punem egal intre ce nu stim si ce stim.

Deci ce este 1/∞? Si ce este ∞ ?

PS:
Din 1/0 ∞ = 2/0 = 3/0 sau din 1/∞ 0 = 2/∞ = 3/∞
rezulta ca 0*∞ = 1 = 2 = 3

Si 0/0 = undefined. How convenient. Cea mai simpla fractie, cea fara cantitati da ahm, undefined.

Acum una mai grea, tot fara cantitati: 0^0 = ? Aici nici conventii nu mai ieste.
(0^0 este 0 ridicat la puterea 0.)

Traim pe baza de comparatii si toate comparatiile pe care le facem sunt fatza de nimic (fatza de zero). Tot ce masuram sau incercam sa masuram raportam la nimic. Adica la despre ce habar n-avem deloc, da' deloc.

De fapt raportam totul la noi insine.
Suntem nimic (ce suntem azi n-am fost ieri si ce vom fi maine nu suntem azi). Dar negam cu indarjire nimicul care suntem.

Ecclesiastul are dreptate.

Masuratori fericite tuturor.

[Georgian@]

sunt doar conventii...probabil din nevoia omului de tangibilitate...positiv, negativ, pi...mintea omului nu poate "vedea" dincolo de un cuvant, o conventie...

[kirk]

Probleme cu 1/0 sunt complicate. Propun niste probleme mai simple si mai distractive. Cum ar fi:
Trenurile T1 si T2, la 320 km unul de altul, pornesc unul spre celalalt mergand cu 40 km/ora. In acelasi moment, de pe trenul T1 pleaca o musca ce merge cu 60 km/ora. Musca merge pana se izbeste de trenul T2. Cati km a parcurs pana in acest moment? Apoi ricoseaza mergand spre T1 pana il intalneste, apoi ricoseaza spre T2 s.a.m.d. pana ce trenurile se ciocnesc si musca este strivita.
Ce distanta a parcurs in total musca?
O posibila rezolvare:
Daca T2 merge cu 40 km/ora si M cu 60 km/ora, in momentul intalnirii, t (ore), M a parcurs 60 t, iar T2, 40 t si 60 t + 40 t = d. Deci 100 t = d si t = d/100. M a parcurs 3/5 d si T2, 2/5 d. Acum distanta intre trenuri este d - 2 * 2/5 d = 1/5 d = d'. Musca merge acum spre T1, problema este aceeasi numai ca avem d' in loc de d. Ea va parcurge pana la intalnirea cu T1, 3/5 d' = 3/5 * 1/5 d, si in acest moment distanta intre trenuru a devenit 1/5 d' = 1/5² d.
Drumul total va fi
s = 3/5 d + 3/5 * 1/5 d + 3/5 * 1/5² d + ...
s = 3/5 d (1 + 1/5 + 1/5² + 1/5³ + ...) = 3/5 d : (1 - 1/5) = 3/4 d
Inlocuind pe d cu 320 km, obtinem s = 240 km
Si totusi, cu o idee, raspunsul poate fi gasit in mai putin de un minut.

[aramis_13]

musca trebuie să zboare atâta timp cât le trebuie celor două trenuri ca să se ciocnească:

DM=VM*Di/(VT1+VT2)

[kirk]

Da, corect!
Nazdravana musca! Sa zboare ea fara oprire 240 km...!

[kirk]

O problema de perspicacitate
Fara ajutorul calculatorului si fara a efectua impartirile, cum putem spune (in mai putin de un minut) care din numerele:

7 13 29 41 59 67 73

divide numarul 3599 ?

[JulianM]

O problema de perspicacitate
Fara ajutorul calculatorului si fara a efectua impartirile, cum putem spune (in mai putin de un minut) care din numerele:

7 13 29 41 59 67 73

divide numarul 3599 ?

3599 = 3600 – 1 = 60^2 – 1 = (60-1)(60+1) = 59*61 = produs de două nr prime
(e suficient să verifici cu nr prime <= radical(61), deci până la 7 …)

Cad imediat : 7, 13, 29, 41, 67, 73

Merge doar 59.

:calcul:

[JulianM]

Pentru formule matematice se face foarte repede un cod.

De exemplu pt phpBB3 se fac 2 modificări într-un fișier și o modificare în altul, plus un BBCode.

For (Style) subsilver2, go to ACP>Styles>Templates>Edit (choose your style accordingly – Eu am pus în Avalon (care e “de tipul” subsilver2), un Style care îmi place mult, și are mai multe versiuni : Cyan, Green, Blue …)

1. In posting_buttons.html, find

<script type="text/javascript" src="{T_TEMPLATE_PATH}/editor.js"></script> and add after this the code :

<script type="text/javascript" src="http://latex.codecogs.com/editor.js"></script> 2.In posting_buttons.html, find

<input type="button" class="btnbbcode" name="addbbcode{custom_tags.BBCODE_ID}" value="{custom_tags.BBCODE_TAG}"onclick="bbstyle({custom_tags.BBCODE_ID})"<!-- IF custom_tags.BBCODE_HELPLINE !== '' -->onmouseover="helpline('cb_{custom_tags.BBCODE_ID}')" onmouseout="helpline('tip')"<!-- ENDIF --> /> <!-- END custom_tags -->
and add after this the code :

<input type="button" class="btnbbcode" onclick="javascript:OpenLatexEditor('message','phpBB','')" value="Equation Editor"/> 3. In posting_editor.html, find

<textarea name="message" rows="15" cols="76" tabindex="3" onselect="storeCaret(this);" onclick="storeCaret(this);"onkeyup="storeCaret(this);" style="width: 98%;">{MESSAGE}</textarea>
and replace with :


<textarea id="message" name="message" rows="15" cols="76" tabindex="3" onselect="storeCaret(this);"onclick="storeCaret(this);" onkeyup="storeCaret(this);" style="width: 98%;">{MESSAGE}</textarea>
*************************************************
4.
Apoi se creeaza un banal BBCode

Go to Admin CP > Posting >BBCode

BBCode Usage: (in prima căsuță)
{TEXT}

HTML Replacement:

<img style="vertical-align: middle" src="http://latex.codecogs.com/png.latex?{TEXT}"/> Helpline:
your equation written in Latex

Detalii :
http://www.codecogs.com/pages/forums/pagegen.php?id=1682
dar și aici
http://www.codecogs.com/latex/install.php (pt pagini in general)

Bineînțeles că fișierele au diferite denumiri în alte forumuri ...

La mine a durat 10 minute să iasă așa, și asta pt că am modificat nițel să apară link-ul care declanșează popup-ul de editare sus, să nu încurce locul în zona cu butoane (pun o postare de acolo) :

1. Click on PostReply to post a message. The EditBox opens ...

http://img153.imageshack.us/img153/5676/image1kq.png


****************************


2. Click on the LINK (with red in the photo) to Edit the formula. The Latex Editor opens
(în poza asta am acoperit în URL numele site-ului ...)

http://img560.imageshack.us/img560/120/image2ol.png


****************************


3. Copy the text you edit in Latex Editor (yellow box) into the EditBox of the Forum

http://img846.imageshack.us/img846/2398/image3z.png


****************************


4. Select the text and use the LATEX button

http://img842.imageshack.us/img842/9821/image1vp.png


****************************


The result is :

http://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%20+%20%5Csum_%7Bi =1%7D%5E%7Bk%7D%20...%20=

************************************************** *******
************************************************** *******

Eu acum mă ocup de altceva (o nouă variantă) adică să am totul la mine pe site (serverul trebuie sa suporte Latex pentru asta) deci în loc să am poza aici

http://latex.codecogs.com/png.latex?\sum_{i=0}^{n}%20\binom{n}{i}%20=%202^n (http://latex.codecogs.com/png.latex?%5Csum_%7bi=0%7d%5e%7bn%7d%20%5Cbinom%7b n%7d%7bi%7d%20=%202%5en)


adică poza asta :


http://latex.codecogs.com/png.latex?%5Csum_%7Bi=0%7D%5E%7Bn%7D%20%5Cbinom%7B n%7D%7Bi%7D%20=%202%5En
(http://latex.codecogs.com/png.latex?%5Csum_%7bi=0%7d%5e%7bn%7d%20%5Cbinom%7b n%7d%7bi%7d%20=%202%5en)


ea să fie la mine pe site ... chiar dacă e probabil arhisuficient și cu CodeCogs.Com

Mai mult decât atât vreau sa pun și LatexRender (sau poate ceva și mai bun) ... ăsta are doar vreo câteva zeci de KB, în așa fel încât când dai dublu-click pe o formulă să vezi codul Latex direct (se deschide un popup) - fie că ești logat pe forum sau nu ești logat ...

[kirk]

3599 = 3600 – 1 = 60^2 – 1 = (60-1)(60+1) = 59*61 = produs de doua nr prime




Asta era ideea.
Si fiindca fu vorba de perspicacitate,
1. In cat timp putem spune care dintre fractiile de mai jos este mai mare (sau mai mica)?

112/449 si 127/507

sau

2.Care este viteza medie a unui mobil care parcurge distanta Bucuresti - Ploiesti (60 km) cu 20 km/ora, apoi fara sa se opreasca , distanta Ploiesti - Bucuresti cu 30 km/ora?

Topicul asta este "putina matematica", dar se pare ca nu este chiar putina, cel putin pana acum.
Si s-ar mai parea ca matematica este mai indragita decat istoria. Asa sa fie oare?

[Raven]

Probleme cu 1/0 sunt complicate.
Nu sunt complicate, sunt inutile, de fapt inexistente. Noi le inventam ca s-avem tot timpul ceva de rezolvat, nu cumva sa scapam de avalansele de ganduri inutile si sa ne echilibram.

Cand nu intelegi ceva nu faci operatiuni cu ceva-ul respectiv. Omul modern, civilizat & consumator vrea insa sa stie tot fara macar sa aiba cea mai mica idee despre ce-i aia "tot".
Pe urma toata societatea moderna & civilizata se mira ca e plina de angoase si se-ntreaba de unde apar domne astea.
De la probleme inventate cu infinit si nimic gen 1/0, 0/0, 0^0 apar toate angoasele astea.

But again fara infinit si nimic, omul n-ar avea scop, existenta, n-ar fi. Tot cautam sa ne justificam existenta, dar nu uitam sa dispretuim esentialul: praful de pe jos (care e in fapt peste tot, nu doar pe jos).
De-aia inventam premii, ca sa ni le dam intre noi (Oscar, Nobel, Pulitzer etc. etc.) si prin asta sa ne alocam merite de premianti pe care nu le avem.



2.Care este viteza medie a unui mobil care parcurge distanta Bucuresti - Ploiesti (60 km) cu 20 km/ora, apoi fara sa se opreasca , distanta Ploiesti - Bucuresti cu 30 km/ora?
24 Km/h.

Mobilul parcurge distanta Bucuresti-Ploiesti-Bucuresti = 120 Km in felul urmator: Bucuresti-Ploiesti = 60 Km in 3 ore (viteza = 20 Km/h) si Ploiesti-Bucuresti = 60 Km in 2 ore (viteza = 30 Km/h).
Deci distanta Bucuresti-Ploiesti-Bucuresti = 120 Km e parcursa in 5 ore.
Viteza medie = Distanta/timp = 120 Km/5 ore = 24 Km/h.

[aramis_13]

Asta era ideea.
Si fiindca fu vorba de perspicacitate,
1. In cat timp putem spune care dintre fractiile de mai jos este mai mare (sau mai mica)?

112/449 si 127/507



în 10 secunde. se răstoarnă fracţiile şi avem 449/112=4,... şi 507/127=3,... răspunsul e evident.

[kirk]

Mai frate, nu mai pot veni si eu cu o problema incuietoare ca gata sar oamenii si o rezolva. Stiu ce am de facut. Vin cu altele mai complicate.

1.Un inspector soseste zilnic in gara G la ora 8. In acelasi moment ajunge in gara masina care il duce da la gara la santier.
Intr-o zi, luand un alt tren, a ajuns in gara la ora 7 si a plecat pe jos; pe drum, in punctul I, a intalnit masina care venea sa-l ia, s-a suit in ea si a ajuns la santier cu 20 de minute mai devreme decat de obicei. Se stie ca masina merge cu viteza constanta, iar inspectorul, pe jos, cu 6 km/ora.
Care este viteza masinii?

2.Apa care se transforma in gheata isi mareste volumul cu 9%. Dar daca gheata se topeste, cu cat la suta isi micsoreaza volumul?

(Cand spunem cat la suta, trebuie sa fie clar din ce. "Cu cat la suta isi micsoreaza gheata volumul"? Intelegem cu cat la suta din volumul ghetii)


Nu sunt complicate, sunt inutile, de fapt inexistente. Noi le inventam ca s-avem tot timpul ceva de rezolvat, nu cumva sa scapam de avalansele de ganduri inutile si sa ne echilibram

Raven, e greu sa trasam o granita intre util si inutil. Este clar ca adunarea, scaderea, inmultirea si impartirea sunt utile. Dar ar putea cineva sa conteste utilitatea calcului diferential sau a logaritmilor naturali, ca sa dau numai niste exemple? Multe pot parea inutile la prima vedere, pentru ca la o analiza mai atenta sa se vada ca sunt chiar necesare.

[aramis_13]

1. maşina = 60 km/h

2. cu 8.26%. nu trebuia să faci precizarea cu "volumul gheţii". ăla e schepsisul problemei

[kirk]

aramis, ai rezolvat-o bine pe aia cu gheata (care mie mi s-a parut mai grea), dar te-ai grabit la prima. Mai incearc-o o data.
Si propun sa aratam si modul de rezolvare, nu numai rezultatul unei probleme. In mod sigur sunt si tineri pe aici, mai putin experimentati, care ar dori sa vada si modul in care se gandeste o problema, plus ideea care conduce spre rezolvare.
Ai dreptate cu precizarea cu "volumul ghetii, nu trebuia facuta.

[aramis_13]

am făcut înmulţirea prost... 30 km/h

[Raven]

Este clar ca adunarea, scaderea, inmultirea si impartirea sunt utile.
Numai daca lucreaza cu lucruri intelese. Restul e metafizica, filosofie sau religie.



Dar ar putea cineva sa conteste utilitatea calcului diferential sau a logaritmilor naturali, ca sa dau numai niste exemple? Multe pot parea inutile la prima vedere, pentru ca la o analiza mai atenta sa se vada ca sunt chiar necesare.
E topic de matematica, deci o intrebare de matematica: ce inseamna ln0 sau lg0 si in general ce semnificatie are o functie de zero - adica ce este f(0)?

Raspunsul-lozinca pe care l-am tot auzit este ca domne f(0) este valoarea lui f(x) cand x=0. Bineinteles, nu se specifica ce-i aia x=0.

Cand x=0 inseamna ca x nu exista. Si deci daca x nu exista (materialistic vorbind), atunci cum il bagam noi in formule si functii? Il bagam acolo ca sa iasa rima, de-aia il bagam. Si pe urma ne mai acordam un Nobel, ceva intre noi because we're worth it. Si ne pomenim ca suntem mai nestiutori cu cat buchisim mai mult si cu cat ne premiem mai mult.

[kirk]

...in general, ce semnificatie are o functie de zero - adica ce este f(0)?

Raspunsul-lozinca pe care l-am tot auzit este ca domne f(0) este valoarea lui f(x) cand x=0. Bineinteles, nu se specifica ce-i aia x=0.

Cand x=0 inseamna ca x nu exista. Si deci daca x nu exista (materialistic vorbind), atunci cum il bagam noi in formule si functii?

Nu vad de ce ar trebui sa ne deranjeze aparitia lui zero in anumite operatiuni matematice. Are si el rostul lui. Si are sens, la fel ca si f(0). Intr-o caciula sunt zece pietre, x = 10. Daca mai iei 3, x va fi egal cu 7. Daca le iei pe toate, x = 0, adica nu mai e nicio piatra acolo. Care e problema? Nicio filosofie. Si f(0), cum ziceam, are sens. Intr-o banita (banitza) sunt 10 boabe de porumb. Vine porcu' sa manance. Urmarim reactia acestuia - f(x). Va fi fericit, ca vede o gramada de boabe, sa tot manance. Daca ii duci numai 7, poate va carti putin si nu va mai fi tot atat de fericit (pai bine domne, numai atatea mi-aduceti?). Daca ii duci banita goala (x = 0), va fi total dezamagit.
Se poate deci urmari evolutia unei functii pentru orice valoare, inclusiv pentru x = 0. Am I right?

[Raven]

Se poate deci urmari evolutia unei functii pentru orice valoare, inclusiv pentru x = 0. Am I right?
Nu prea.

x=0 inseamna ca x nu (mai) exista materialistic vorbind. Si daca x nu exista, atunci orice f(x) nu exista, nu are sens, e nonsens.

Exemplificare:

1) Cazul cu caciula.
Initial, x=10 pietre in caciula. Le luam pe toate si le punem le mutam pe toate din caciula in alta parte.
Notam cu f(x) schimbarea lui x, adica nr. de pietre din caciula dupa ce scoatem de-acolo "a" pietre (0<a<=x). Deci f(x) = x-a.
f(x) nu este x. De fapt f(x)=x nu are sens, e suficient sa scrii x=<valoare>; ce are sens este expresia f(y)=x sau f(x)=y unde se poate intampla ca y=x pt. anumite valori ale lui x, dar nu pt. orice valoare a lui x.
Cand ce-a ramas in caciula dupa ce-am luat toate alea 10 pietre de-acolo (a=10), atunci f(0) nu exista, la fel ca si x care a devenit nimic. N-avem nimic in caciula , iar asta nu se poate scrie sub nicio forma altfel decat x=0 si asta nu se citeste"x este zero", se citeste "x nu exista".
Cand x=0, deci cand x nu exista, atunci orice f(x) nu exista, sau f(0)=0 ceea ce se citeste "f(0) nu exista".
Deci daca x nu exista atunci f(x) nu exista si daca astea nu exista atunci de ce apar egalitati elucubrante gen 0/1=0 (nimicul nu se-mparte, atunci la ce e necesar sa scrii impartiri din nimic?), 1/0=infinit (infinit adica mai exact cat sau macar aproximativ cat?), 0/0 = undefined (ce convenabil, nu?), 0^0=...

2) Cazul cu porcul.
Daca banita e goala, atunci nu i-o duci porcului pt. ca n-ai niciun motiv si atunci de ce sa ne punem problema ca domne duc porcului banita goala sau as putea sa-i duc porcului o banita goala (care-i probabilitatea?)?
OK, poti sa cari banita goala la cocina din greseala, dar pe urma o iei inapoi pt. c-o sa ai nevoie s-o umpli cu boabe mai tarziu - sa duci nimic si sa iei inapoi nimicul pe care l-ai dus, asta matematic cum s-ar scrie?
Ntz-ntz.

Cum ziceam - metafizica, filosofie, religie.

[kirk]

Raven, sper ca am reusit sa te amuz un pic ca am introdus porcul in ecuatie. Lasand acum gluma, inclin sa fiu de acord cu tine in ceea ce priveste 1/0, 0/0si alte asemenea giumbuslucuri. Dar functia f(0) mie mi se pare ca are sens.
In fine, ia mai bine incearca tu sa arati cum a ajuns aramis la rezultatele alea: 30 km/ora si 8,26%, ca eu il suspectez ca le-a zis la nimereala (si le-a nimerit).

[aramis_13]

nimereala :d: e cu transpiraţie...

problema 2 e foarte simplă. mai precis e regula de 3 simplă: dacă 109 unităţi corespund la 100%, la cât corespund 100 de unităţi? asta am învăţat-o de la Ministeru' de Finanţe, când se tot jucau ei cu TVA-ul...

problema 1 e pe logică: din alea 20 de minute, 10 sunt scutite la venitul maşinii spre gară şi 10 la întors înapoi. deci nea ingineru merge pe jos ora aia sosită mai devreme minus astea 10 minute. în 50 de minute el parcurge 5 km. pe care maşina i-ar face în 10 minute, la o viteză de (60/10)*5=30km/h

[kirk]

Ce sa fac, am intrat in hora trebuie sa joc.
Uite alta (pe care o stiu de cand aveam vreo 14-15 ani)..
O conversatie:
A - Am trei copii.
B - Ce varste au?
A - Produsul varstelor lor (in ani, numere intregi) este 36
B - Aceasta informatie nu este suficienta pentru a afle cele trei numere.
A - Suma varstelor este egala cu numarul de etaje al blocului pe care il ai in fata.
B (dupa ce numara etajele) - Tot nu se poate afla.
A - Cel mai mare are ochi albastri.
B - Acum pot afla.
Sa se afle varstele celor trei copii.

Si inca una, sa am pace vreo doua saptamani.
Trei oameni: A, B, C. Li se arata pe masa trei discuri albe si doua negre si li se spune ca li se va lipi pe spate cate un disc. Dupa ce se face aceasta, ei sunt asezati in sir, astfel ca A priveste in spatele lui B si C; B in spatele lui C; iar C nu vede nimic. Ce fel de disc au pe spate? A raspunde: "Nu stiu"; apoi B raspunde "Nu stiu"; apoi C raspunde "Stiu".
Ce disc avea C si cum a rationat?
(Se presupune ca cei trei stiu sa rationeze perfect.)

[aramis_13]

problema 1: 2, 2, 9 (are omu' gemeni probabil sau i-a trântit nevasta anu' şi cârlanu')

problema 2. C are un disc alb pe spate.

cele două săptămâni au trecut. altele la rând.

[kirk]

Pai aramis, eu cand ma mai odihnesc?
Ia fii atent! Ce zici daca la problema 2 avem 7 oameni, 10 discuri albe si 6 negre, primii patru raspund succesiv "Nu stiu", iar al cincilea raspunde "stiu"?
Acu sa te vad.

[aramis_13]

se poate rezolva şi asta (probabil), dar sunt prea multe combinaţii şi aranjamente de făcut şi chiar nu am timp.

[kirk]

Sa observam ca sunt 6 discuri negre si (6 + 1) oameni. Daca A vede numai negre (6) raspunde "Stiu: am alb". Daca el raspunde "Nu stiu", inseamna ca nu a vazut numai negre. In acest caz, daca B vede numai negre, raspunde "Stiu: am alb (folosind ipoteza ca A nu a vazut numai negre).
Primul care vede dupa el numai negre si stie ca precedentii au raspuns "Nu stiu", raspunde "Stiu, am alb".

[kirk]

Frumoasa e viata de student!
La o serata studenteasca au fost 74 de persoane (baieti si fete). Ajunse la camin fetele au facut o clasificare si au constatat: Ana a dansat numai cu un baiat, Maria cu 3 baieti, apoi: Clara cu 9 baieti, Florica cu 10, Ema cu 11 s.a.m.d., fiecare a avut cu un dansator mai mult decat precedenta pana la ultima, Otilia, care a dansat cu toti baietii aflati la serata.
Cate fete si cati baieti au fost?

[aramis_13]

34 de fete şi 40 de băieti.

[kirk]

aramis le rezolva, iar eu explic cum le-a rezolvat (nu de alta, dar am o banuiala ca sunt si unii forumisti care ar dori sa inteleaga ce si cum).
Mai intai lasam la o parte cele doua cazuri izolate, Ana si Maria.
Problema devine: au fost 72 de persoane. Clara a dansat cu 9 baieti, Florica cu 10,..., Otilia cu toti.
Comparam enumerarea
Clara, Florica,..., Otilia
sau, cu alte denumiri,
F1, F2, .........Ff
cu
9, 10, ...........b
Rezulta ca numarul baietilor b este cu 8 mai mare decat al fetelor f.
Ajungem la o problema tip: sa aflam doua numere cand cunoastem suma si diferenta.

[aramis_13]

iexplicaţie: când ajungem la Florica, asta a dansat cu 10 băieţi, avem deci 4 fete şi 10 băieţi. de-acum totalul creşte din 2 în 2 (câte unul de fiecare parte):

74 - 14 = 60/2 = 30 + 4 = 34 fete *(-1) - 74 = 40 băieţi.

diferenţa e de 6 şi nu de 8.

[kirk]

Mai intai lasam la o parte cele doua cazuri izolate, Ana si Maria.
Problema devine: au fost 72 de persoane...

aramis, ai rezolvat bine. f = 34 si b = 40
Dar si eu am rezolvat bine. Este doar o alta metoda.
Iti explic, dar te rog sa nu zici "las-o balta", ci sa urmaresti cu atentie.
Am rezolvat in doua "trepte". Pentru inceput, am zis sa lasam la o parte cele doua cazuri izolate. Si acum (am zis) problema devine: au fost 72 de persoane (nu 74), prima fata a dansat cu 9, a doua cu 10, a treia cu 11 s.a.m.d. Comparand enumerarea (cum am zis mai sus), este evident ca in acest caz diferenta este de 8 (b - f = 8). Si s-a ajuns la o problema tip (de suma si diferenta).
b + f = 72 si b - f = 8, care ne da solutia: b = 40 si f = 32
Acum adunam pe cele doua fete pe care le-am omis la inceput si obtinem f = (32 + 2) = 34
Deci am ajuns tot la 34 si 40
P.s. Imi plac problemele care se pot rezolva prin mai multe metode.

[aramis_13]

mai e una: cu excelu'...

[kirk]

Tot in scrinul cu amintiri se afla si bijuterii...geometrice. Ce credeti voi, ca numai muzicale? Si, bineinteles, nu sunt inventate de mine, ci culese de colo, de colo. Daca si voi incercati uneori nostalgia orelor de matematica, mai haideti pe aici.
Se da un patrat ABCD. Pe latura AB ca baza se construieste spre interior un triunghi isoscel MAB cu unghiurile de la baza de cate 15°. Sa se arate ca triunghiul MCD este echilateral.
P.s. Julian, daca ai timp, deseneaza tu, te rog, figura. Stiu ca tu ai tot felul de programe. Multumesc.

[JulianM]

Problema asta era în vechiul manual de clasa a 7-a. Era foarte frumos și că dădeam 3 soluții la sfârșitul clasei a 7-a și la începutul clasei a 8-a reluam cele 3 soluții. Am continuat să fac asta și după ce problema n-a mai fost prezentă în manual (cel puțin în manualele din județele Giurgiu și Teleorman).

Soluțiile a 2-a și a 3-a folosesc relații metrice (Pitagora aici) și în plus arie respectiv teorema bisectoarei.
Fiindcă un elev se îndreaptă repede către găsirea lungimii perpendicularei din E pe AB (și să rezulte că este a - a*radical(3)/2 ...)

(eu am desenat cu E în loc de M, obișnuit de la clasă)

http://img824.imageshack.us/img824/9972/image1zlt.png





Dar o soluție foarte simplă, banală chiar (cu care începeam mereu) este pornirea în sens invers fiindcă acel E obținut din construcția celor 2 unghiuri de 15 grade este UNIC ! ...

Si atunci mai întâi construiesc triunghiul echilateral în interior .. și văd : se obțin acele unghiuri (EAB și EBA) de 15 grade ? Evident că da, se vede pe figură ...

(am evidențiat și congruentele de laturi, și se vede că triunghiurile EAD și EBC sunt isoscele ... deci unghiurile de la baza lor sunt de măsuri egale ... pătratul având toate unghiurile de 90 de grade, triunghiul echilateral toate de 60 de grade și suma unghiurilor într-un triunghi este de 180 de grade ... )


http://img405.imageshack.us/img405/2787/image2ve.png

------

Sigur că la nivel de clasa a 9-a se poate face și cu teorema sinusurilor și calculând imediat sin15 din relația cos2x = 1-2*(sinx)^2 ... pt x=30 ..etc ...

[kirk]

Ce mare diferenta cand este desenata si figura!
La comentariile facute de JulianM nu cred ca ar mai fi nimic de adaugat. Professionaly solved. Problema e frumoasa; mai intai pentru ca sunt mai multe cai in care poate fi rezolvata (apropo!, Julian, nu-mi dau seama cum ar putea fi folosita si teorema bisectoarei in acest caz; ea ne-ar conduce doar la un raport 1). Cea mai naturala mi se pare si mie metoda cu "pornind in sens invers", adica sa construim mai intai triunghiul echilateral; si apoi sa folosim observatia ca triunghiurile ADE si BCE sunt isoscele. In felul acesta, cum a zis si Julian, observam repede ca acel unghi din E este unic. Fiindca daca deplasam punctul E pe mediatoarea lui AB, fie intr-un sens, fie in altul, unghiul E fie se mareste, fie se micsoreaza.
Poate va zice cineva ca am dat in mitea copiilor; ne ocupam cu probleme de clasa a VII-a. Dar eu cred ca problemele (cel putin unele) sunt frumoase pentru toate varstele si reconsiderarea lor ne poate ajuta la mentinerea elasticitatii mintii.

[JulianM]

...
(apropo!, Julian, nu-mi dau seama cum ar putea fi folosita si teorema bisectoarei in acest caz; ea ne-ar conduce doar la un raport 1).
...


http://img35.imageshack.us/img35/9972/image1zlt.png


Cu teorema bisectoarei mi-aduc aminte că am căutat repede o găselniță pt ca să dau încă o soluție folosind th. bisectoarei (eram sigur că o pot folosi cumva și a ieșit repede ... și cred că merge și altă construcție, în afara pătratului ...



Oricum e o soluție mai mult didactică, sunt mai multe calcule, dar se evită aria (mai ales că se face aria în 2 feluri, cu sinus de 30 de grade inclusiv ! - care se predă la cls 7) și în plus se reamintește th. bisectoarei pe care elevii o uită cam des ... Aşa am decis eu să fac ... de prin 96 încoace ...

Avem segmentul MN perpendicular pe laturi și care conține pe E și pe P, acesta fiind locul unde se intersectează cu MN o dreaptă dusa din B și care face cu BE tot 15 grade ...
(e adevărat ca în poza asta făcută cam repede nu se vede triunghiul dreptunghic BMP ca având unghiul MBP de 30 de grade ... dar se înțelege ...)

Notând MP cu x (cateta ce se opune unui unghi de 30 de grade e jumate din ipotenuză rezulta imediat BP=2x și cum MB = a/2 cu Pitagora avem ca a/2 = MB = x*rad(3) ... și de aici iese x = a*rad(3)/6 iar BP = a*rad(3)/3 .

Cum pe noi ne interesează ME, îl notam cu y și avem cu teorema bisectoarei în tr. BMP:
BM / BP = ME / EP.


Adică :

y / (a*rad(3)/6 - y) = (a/2) / a*rad(3)/3

adunam la numitor numărătorul și obținem pe y = a*rad(3) / (4*rad(3)+6) care se vede imediat că este egal cu a – a*rad(3)/2



(adică din a scad înălțimea tr. echilateral de latură a ... fiindcă evident că tr EDC e isoscel, dar se pune problema ce lungime are înălțimea lui din E pe DC ... adică trebuie sa fie a*rad(3)/2 ...)


Calcule, deh ...



:calcul:

---------------------

Problema asta cred că are destule soluții ... Cum mie îmi place mereu să dau mai multe soluții ... și puneam mereu întrebarea "cine are întrebări ?" (și îmi convenea foarte tare să existe întrebări, iar ei puneau întrebări la cele grele .. că am fost mereu foarte apropiat de elevi, și "aveau curaj", nu era vreo piedică de ordin emoțional ..) ei bine într-o zi, o elevă care abia trecea clasa (dar tare cuminte) a ridicat și ea mânuța și a zis : "de ce trebuie să dăm mai multe soluții la probleme ? " ...

Eu m-am simțit foarte bine în fata inocenței fetei și am zis "în principiu nu trebuie, adică nu ne obligă nimeni, nici pe mine, nici pe voi la examene ... dar e bine să vezi problema sub diverse aspecte, fiindcă ai mai mari șanse să domini problema, să-i dai de cap, să o înțelegi în profunzime ... și în plus ne mai amintim diverse aspecte de teorie .. și le punem în practică la probleme ..."

:)

[kirk]

Da, inteleg cum zici. Interesanta ideea.
Julian, hai ca te mai sacai un pic. In cate feluri crezi tu ca se poate rezolva problema #8 de la pag. 1? Eu stiu o metoda, dar ma gandesc ca ar mai putea fi si altele.

[JulianM]

Da, inteleg cum zici. Interesanta ideea.
Julian, hai ca te mai sacai un pic. In cate feluri crezi tu ca se poate rezolva problema #8 de la pag. 1? Eu stiu o metoda, dar ma gandesc ca ar mai putea fi si altele.

Probabil că e vorba de postarea #8 de la pagina 1 de pe topic ..

http://www.mathpages.com/home/kmath277/kmath277_files/image001.gif


Asta nu e o problemă ușoară .. E problema lui Langley (1922) ...
Uite de exemplu la pagina ASTA (http://www.mathpages.com/home/kmath277/kmath277.htm) un articol lung pe tema asta ...

Eu știu că am făcut-o pe vremuri, la sfârșitul clasei a 9-a, din Kvant (dacă nu mă înșel), eram abonat (nu mă refer la cartea cu primele 200 de probleme publicată și la noi) ... am făcut-o trigonometric, și am calculat o groază !..

La soluția ușoară (dar care nu e ușor de intuit !) se face așa :

http://www.mathpages.com/home/kmath277/kmath277_files/image002.gif

Deci unghiurile sunt de 70 și 130 de grade ...

O căutare după adventitious angles mai dă niște rezultate despre "teoremă", dar nu prea relevante ...

[kirk]

Asta era si solutia pe care o stiam eu, cu linia aia ajutatoare AE. Nu am stiut nimic de istoricul problemei, ca apartine lui Langley si ca dateaza din 1922. Am vazut-o doar intr-o carte si mi-a placut. La fel ca si tine, am rezolvat-o si trigonometric candva, cu ani in urma, dar nu mai gasesc hartia pe care scrisesem solutia si nu ma apuc din nou sa incerc ca stiu ca mi-ar lua mult timp. Am vazut insa solutia trigonometrica din comentariul pe care mi l-ai dat. Frumoasa!
Oricum este o problema de tinut in "scrin".

[JulianM]

http://img695.imageshack.us/img695/6448/image1yh.png

http://img810.imageshack.us/img810/2497/image11111.png

[kirk]

Frumoasa e geometria plana!
Julian, cred ca ai observat ca eu nu sunt decat un amator. Nu practic si nu am practicat niciodata o meserie care sa aiba de a face cu math. Dar imi place. Si imi plac in deosebi problemele de geometrie plana (inclusiv trig.).
Ce zici si de asta:
Se da un cerc cu centrul in O si de raza R. Fie PQ un diametru in cerc. Se prelungeste acest diam. cu PA = R. Fie B mijlocul lui OP. Sa se arate ca orice punct M de pe cercul dat satisface relatia: MA = 2MB

[aramis_13]

hai să vedem dacă îmi iese:
http://farm7.static.flickr.com/6026/5875883520_b8b8cdec7e_b.jpg
similar se face demonstraţia pentru S aparţinând lui OP

[JulianM]

Frumoasa e geometria plana!
Julian, cred ca ai observat ca eu nu sunt decat un amator. Nu practic si nu am practicat niciodata o meserie care sa aiba de a face cu math. Dar imi place. Si imi plac in deosebi problemele de geometrie plana (inclusiv trig.).
Ce zici si de asta:
Se da un cerc cu centrul in O si de raza R. Fie PQ un diametru in cerc. Se prelungeste acest diam. cu PA = R. Fie B mijlocul lui OP. Sa se arate ca orice punct M de pe cercul dat satisface relatia: MA = 2MB

E o consecință imediată a Cercului lui Apollonius (http://en.wikipedia.org/wiki/Circles_of_Apollonius)

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/9/9d/Apollonius_circle_definition_labels.png

În plus poți spune că acel cerc conține singurele puncte M care verifică relația MA/MB = 2 (fiind vorba de loc geometric)...

---
Trigonometric dacă notezi cu x măsura unghiului MOA (din problemă) şi exprimi imediat în functie de R şi cosx pe

MB^2 = R^2 + R^2/4 - 2*R*R/2*cosx și pe
MA^2 = R^2 + 4R^2 - 2*R*2R*cosx

e o identitate banală să arăți că raportul MA^2 / MB^2 = 4, deci MA/MB = 2 (cosinusurile se reduc .. e simplu ..).

[Raven]

http://www.physlink.com/symbols/tau.gif vs http://www.physlink.com/symbols/pi.gif (http://www.bbc.co.uk/news/science-environment-13906169)

[kirk]

Crezi ca s-ar putea rezolva si altfel? Fara sa implicam trigonometria (si, bineinteles, fara teorema lui Pitagora generalizata)?
Problema se rezolva frumos si folosind calculul cu vectori. Dar nu la asta ma refeream, ci folosind doar elemente de geometrie plana.


raportul MA^2 / MB^2 = 4, deci MA/MB = 2 (cosinusurile se reduc ...)
Cum se reduc cosinusurile?

[JulianM]

Crezi ca s-ar putea rezolva si altfel? Fara sa implicam trigonometria (si, bineinteles, fara teorema lui Pitagora generalizata)?
Problema se rezolva frumos si folosind calculul cu vectori. Dar nu la asta ma refeream, ci folosind doar elemente de geometrie plana.

Cum se reduc cosinusurile?

MA^2 = R^2 + 4R^2 - 2*R*2R*cosx
MB^2 = R^2 + R^2/4 - 2*R*R/2*cosx , deci

MA^2 / MB^2 = 4 <=>
R^2 (1 + 4 – 4cosx ) / R^2 (1 + 1/4 – cosx) = 4 <=>
(1 + 4 – 4cosx ) / (1 + 1/4 – cosx) = 4/1 <=>
1 + 4 - 4cosx = 4 + 1 – 4cosx ,
sau 0 = 0 (se reduc termen cu termen, toți ...)

… si din MA^2 / MB^2 = 4 => MA/MB = 2

Demonstrația din cercul lui Apollonnius este foarte simplă și nu are nevoie de trigonometrie (doar asemănări, rapoarte ..).
O să caut să găsesc pe Net o dem. scrisă deja ...
Probabil există și altele, o să mă uit ...

[kirk]

Chestia cu reducerea cosinusilor era intr-adevar evidenta. Nu stiu cum de nu am observat.

[JulianM]

...
Demonstrația din cercul lui Apollonnius este foarte simplă și nu are nevoie de trigonometrie (doar asemănări, rapoarte ..).
O să caut să găsesc pe Net o dem. scrisă deja ...
Probabil există și altele, o să mă uit ...

Mi-am zis să mă joc nițel cu problema asta frumoasă (chiar dacă e un caz particular al cercului lui Apollonius ... apropo, am zis că o să caut niște poze gata făcute cu cercul Apollonius, da uite că uitai ... O să caut altădată ...)

http://img34.imageshack.us/img34/3381/image1nl.png

http://img198.imageshack.us/img198/9852/imageyu.png

A fost amuzant ...
Şi văd că m-am reobișnuit să desenez în Word ... Fiindcă desenul e făcut în banalul Word !!..

[kirk]

Excelent, Julian! Ai talent pedagogic de...profesor. Am inteles perfect. Interesanta ideea sa pleci de la "Fie N mijlocul lui AM". S-a format acea linie mijlocie, care e paralela cu baza si egala cu jumatate din ea s.a.m.d. Restul a mers snur.

[JulianM]

Mi-am zis să mă joc nițel cu problema asta frumoasă (chiar dacă e un caz particular al cercului lui Apollonius ... apropo, am zis că o să caut niște poze gata făcute cu cercul Apollonius, da uite că uitai ... O să caut altădată ...)



Nu prea am găsit ce căuta pe Net, așa că m-am apucat și am desenat iar în Word ... (la gradațiile unghiurilor e mai greu, așa că pt teorema bisectoarei exterioare nu am mai pus alte gradații .. se și încărca figura ...)
Cele 2 teoreme de început sunt ca "supliment " .. adică le puteam considera cunoscute 100% (cu reciproce cu tot...). Altminteri, pentru problema de aici:


...
Se da un cerc cu centrul in O si de raza R. Fie PQ un diametru in cerc. Se prelungeste acest diam. cu PA = R. Fie B mijlocul lui OP. Sa se arate ca orice punct M de pe cercul dat satisface relatia: MA = 2MB

avem cazul k=2 ( .. M fiind P în desenul de mai jos .. etc ..)

http://img830.imageshack.us/img830/8256/image1of.png

http://img62.imageshack.us/img62/3259/image3zhh.png

[kirk]

O problema fascinanta mi s-a parut si aia cu triunghiul echilateral determinat de trisectoarele duse intr-un triunghi oarecare. La inceput mi s-a parut o imposibilitate. Cum, sa pornesti de la un tr. oarecare si sa ajungi la unul echilateral doar prin simpla dividere in trei parti egale a unghiurilor!?
A trebuit pana la urma sa admit ca se poate, dupa ce am vazut rezolvarea. Nu cred ca as mai reusi sa o reproduc acum. Mi-amintesc ca era destul de complicata si intortocheata. Nu se folosea deloc trig., ci numai elem. simple de geometrie (unghiuri). Presupun insa ca se poate rezolva si pe cale trigonometrica. Sau folosind geometria analitica.

[JulianM]

O problema fascinanta mi s-a parut si aia cu triunghiul echilateral determinat de trisectoarele duse intr-un triunghi oarecare. La inceput mi s-a parut o imposibilitate. Cum, sa pornesti de la un tr. oarecare si sa ajungi la unul echilateral doar prin simpla dividere in trei parti egale a unghiurilor!?
A trebuit pana la urma sa admit ca se poate, dupa ce am vazut rezolvarea. Nu cred ca as mai reusi sa o reproduc acum. Mi-amintesc ca era destul de complicata si intortocheata. Nu se folosea deloc trig., ci numai elem. simple de geometrie (unghiuri). Presupun insa ca se poate rezolva si pe cale trigonometrica. Sau folosind geometria analitica.

Morley's Trisection Theorem

Ipoteza și Concluzia

http://www.mathpages.com/home/kmath376/Image6472.gif

Pentru demonstrația fără trigonometrie

http://www.mathpages.com/home/kmath376/Image6473.gif

Pentru demonstrația trigonometrică

http://www.mathpages.com/home/kmath376/Image6465.gif


Morley's Trisection Theorem (http://www.mathpages.com/home/kmath376/kmath376.htm)

[kirk]

Da, imi amintesc acum demonstratia (cea fara trig.). Nu stiam ca se numeste t. lui Morley. De fapt, nu stiam ca este vorba de o teorema,; am stiut-o doar ca o simpla problema. Demonstratia este frumoasa si, bineinteles, fara cusur. Interesant ca nu se poate aborda in mod direct, ci numai pornit invers, de la tr. echilateral spre cel oarecare.
Julian, sar acum de la una la alta. Cum duci o tangenta la o curba intr-un punct dat in cazul in care aceasta (curba) este determinata de o functie cu parametru? Cu alte cuvinte, cum ii calculezi derivata? Neavand forma clasica y = f(x) nu poti forma raportul [f(x) - f(x')] / (x - x'), pe care sa-l treci apoi la limita.
M-am gandit la asta in timp ce observam graficul functiei: x = a(cos t + t sin t) si y = a(sin t - t cos t) {a - raza unui cerc ; t - un parametru}.
In acest caz particular, vad ca tangenta intr-un punct M al curbei se poste construi usor pe cale geometrica. Se pleaca de la cercul de referinta, se duce tangenta la acest cerc care sa treaca prin M si apoi o perpendiculara pe aceasta tangenta tot in M (zic bine?). Dar alte functii sunt mai complicate si, evident, trebuie sa folosim un calcul algebric. Ne trebuie formula derivatei si respectiv valoarea ei (m) in punctul dat, pentru ca sa aplicam apoi y - y' = m (x - x').
Deci, cum?

[JulianM]

Da, imi amintesc acum demonstratia (cea fara trig.). Nu stiam ca se numeste t. lui Morley. De fapt, nu stiam ca este vorba de o teorema,; am stiut-o doar ca o simpla problema. Demonstratia este frumoasa si, bineinteles, fara cusur. Interesant ca nu se poate aborda in mod direct, ci numai pornit invers, de la tr. echilateral spre cel oarecare.
Julian, sar acum de la una la alta. Cum duci o tangenta la o curba intr-un punct dat in cazul in care aceasta (curba) este determinata de o functie cu parametru? Cu alte cuvinte, cum ii calculezi derivata? Neavand forma clasica y = f(x) nu poti forma raportul [f(x) - f(x')] / (x - x'), pe care sa-l treci apoi la limita.
M-am gandit la asta in timp ce observam graficul functiei: x = a(cos t + t sin t) si y = a(sin t - t cos t) {a - raza unui cerc ; t - un parametru}.
In acest caz particular, vad ca tangenta intr-un punct M al curbei se poste construi usor pe cale geometrica. Se pleaca de la cercul de referinta, se duce tangenta la acest cerc care sa treaca prin M si apoi o perpendiculara pe aceasta tangenta tot in M (zic bine?). Dar alte functii sunt mai complicate si, evident, trebuie sa folosim un calcul algebric. Ne trebuie formula derivatei si respectiv valoarea ei (m) in punctul dat, pentru ca sa aplicam apoi y - y' = m (x - x').
Deci, cum?

1). Dacă e vorba tot de ecuații carteziene (deci apare x și y ... și asta e în general în cazul în care nu prea poți exprima pe y în funcție de x) și deci suntem în cazul :
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/ParaTangent_files/eq0001M.gif

atunci :
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/ParaTangent_files/eq0004M.gif
unde :
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/ParaTangent_files/eq0012M.gif
--------------------

Example. Find the tangent line(s) to the parametric curve given by

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/ParaTangent_files/eq0014MP.gif

at the point (0,4).

Rezolvare:

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/ParaTangent_files/eq0015M.gif
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/ParaTangent_files/image001.gif

Teorie și Exerciții ușor de citit AICI (http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/ParaTangent.aspx)

*******************************

2). Dacă e vorba de ecuații polare, adică

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/PolarTangents_files/eq0001M.gif

atunci Teorie și Exerciții ușoare AICI (http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/PolarTangents.aspx) ...

(eventuale pregătiri pt Coordonate polare AICI (http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/PolarCoordinates.aspx))

[JulianM]

http://img695.imageshack.us/img695/6448/image1yh.png

.......


Căutam niște generalizări și am găsit altele (plus am văzut că Teorema poartă numele lui Napoleon .. nu mai ştiu dacă am mai citit de asta vreodată, chiar dacă problema e foarte cunoscută ... Totuși e precizat pe un site
".. Remarks: The attribution to Napoléon Bonaparte (1769-1821) is traditional, but dubious.. ")

http://img714.imageshack.us/img714/1369/45363290.png


Mai întâi am găsit o altă soluție (am comprimat-o într-o pagină Word)

http://img585.imageshack.us/img585/8019/000p.png

Generalizarea (într-o anumită direcție) => Teorema Napoleon-Barlotti (1955, redescoperita de L. Gerber în 1980)

Ideea se pare că a venit de la teorema lui V. Thébault's (1937) .. unde se vedea că merge pt cazul n=4 ... nu numai 3, ca în cazul th. Napoleon ...

Dar totuși trebuie spus ce înseamnă poligon regulat-afin (http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Barlotti.shtml) (merge la triunghiuri oarecare - cazul n=3 - sau paralelograme - cazul n=4)

Deci avem un paralelogram .. pe laturile lui se construiesc în exterior (merg discuțiile și în interior !) niște pătrate .. centrele acestora formează un pătrat ...

http://img684.imageshack.us/img684/8020/image5ohw.png

Teorema Napoleon-Barlotti (adică generalizarea)

Pe laturile unui poligon regulat-afin de grad n se construiesc n poligoane regulate. Centrele acestora formează un poligon regulat.

http://img89.imageshack.us/img89/544/image2zt.png

------

Ceea ce căutam eu e altceva (și are legătură cu teorema lui Vecten .. deci cazul 4 ... vroiam să ştiu dacă e deja demonstrată generalizarea .. o anume generalizare .. dar nu am găsit deocamdată .. și văd că pt cazul general n nu prea e ușor de demonstrat ..)

E așa :
Pe laturile unui triunghi oarecare se construiesc în exterior poligoane regulate de gradul n. Dacă unim fiecare vârf al triunghiului cu centrul poligonului regulat construit folosind latura opusă, se obțin 3 drepte concurente ???

Cazul n=4 este Teorema lui Vecten (care se demonstrează mai scurt cu arii .. asemănare .. etc ... O discuție foarte interesantă aici (http://www.maa.org/editorial/knot/BridesChair.html) ... interactiv, Java applets, etc ... MAA = Mathematical Association of America (http://www.maa.org/) ...)

http://gogeometry.com/center/vecten_point_triangle.gif


*****************

PS 1
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Fermat_Point_Proof.svg/300px-Fermat_Point_Proof.svg.png

Pentru cazul n=3 poate pot folosi punctul lui Torricelli (sau punctul lui Fermat) dar și prima poză de sus, din postarea asta (poză cu fond verde) pentru că AA1, BB1 și CC1 nu sunt numai egale, dar se și intersectează în punctul lui Torricelli (în cartea Smaranda/Soare, pag. 66, ex 21, "Transformări geometrice" se spune greșit că acel punct de intersecție ar fi la jumatea lor ! - dacă ar fi fost aș fi avut deja demonstrația .. dar nu e așa, nu se taie la jumătate ! ... așa că ...)

Dar nu ştiu nimic de vreun raport creat de punctul T pe vreunul din segmentele AA1, BB1, CC1 (sau, în ultima poză: AP, BQ, CR)


PS 2 Teorema e cunoscută (chiar e generalizare și pentru cazul n !!) ...
Si văd că e din 1999 ! (generalizarea th. lui Fermat-Torricelli ...)

http://img707.imageshack.us/img707/4070/image1gk.png


Demonstratia e destul de lungă ...
Am găsit aici una trigonometrică A-generalization-of-the-Fermat-Torricelli-point (http://www.scribd.com/doc/37194466/A-generalization-of-the-Fermat-Torricelli-point) ...

O generalizare la generalizare (!!) ar fi AICI (http://math.kennesaw.edu/~mdevilli/further-fermat-general.html) ...

http://img163.imageshack.us/img163/5066/image1ro.png

dar te pun să descarci un PDF (soluția e și mai lunga, dar e în stilul în care încercasem eu ) ... doar ca aici ajungi la așa ceva :

http://img543.imageshack.us/img543/4530/image2xs.png

[kirk]

Julian, mi-am prins urechile incercand sa ma bag prin hatisurile alea de segmente. Nu contest insa frumusetea atat a teoremelor cat si a demonstratiilor lor.

[kirk]

Triunghiul asta oarecare e tare sugubat. Ai zice ca, fiind oarecare, in interiorul lui nu domneste nicio lege, ar fi un fel de alandala. Da' de unde! Sunt legi foarte precise.
De pilda, liniile lui principale se intersecteaza nu doua cate doua, ci trei cate trei in cate un singur punct. Acest lucru in sine este destul de remarcabil. Asfel, avem un punct O de intersectie a mediatoarelor, un punct G de intersectie a medianelor si avem un punct H de intersectie a inaltimilor. Iar asta nu este totul. Cele trei puncte - O, G si H - nu sunt dispuse nici ele oricum, ci pe o dreapta. Sunt coliniare, cum ar zice Julian.
Tocmai asta vroiam sa va sugerez: incercati, cand aveti timp, bineinteles, sa demonstrati treaba asta - ca O, G si H sunt coliniare. Nu va va lua mult timp, in schimb va va oferi satisfactie.

[JulianM]

Cât am avut curentul întrerupt (3 zile) nu aveam ce să fac seara .. M-am gândit la o problemă. E reciproca unei probleme ce apare în manualul de cls 7.

Adică, problema din manual era cam aşa : dacă avem un triunghi echilateral DEF și prelungim în exteriorul lui (ca în figură) EB=AD=FC să se arate că ABC e triunghi echilateral.
(poza am luat-o repede de pe Net, că semăna cu ce doream eu, am modificat-o un pic ...N-am stat să fac o poză bună..)

Evident că problema din carte e banală.

Ce se întâmplă dacă o luăm invers ?
Adică : ABC triunghi echilateral, D, E, F sunt 3 puncte în interior astfel încât avem coliniarităţile A-D-E, B-E-F și C-F-D , ordinea pe drepte fiind cea indicată, și în plus AD=BE=CF, atunci să se arate că DEF este tot triunghi echilateral ...

http://img33.imageshack.us/img33/784/problemwe.jpg

I-am dat o soluție sintetică până la urmă ... (deci fără vectori, fără geometrie analitică .. etc)
Dar ziua încercam cu numere complexe, cu trigonometrie, cu vectori, cu geometrie analitică .. Nimic .. Cel puțin deocamdată ... (Calculele erau prea lungi .. și nu prea am avut răbdare .. Oricum am scris juma de caiet încercând cu 4 tipuri de calcule ..)

Dar fiindcă am găsit acum pe Internet o discuție pe o reciprocă la altă problemă (prezentă și ea în manual, la aceeași pagină .. banală și ea, dar reciproca nu e deloc banală) .. am luat poza, am modificat-o un pic ... și am scris demonstrația la aia (la cea de mai sus e la fel, chiar mai simplu, fiindcă nu se mai împarte în 2 cazuri, ascuțit-obtuz ...)

Mai întâi

http://img171.imageshack.us/img171/7057/lema.png


Acum problema cu figura găsită pe Net .. modificată un pic ... şi soluția în dreapta ...

http://img854.imageshack.us/img854/8596/imagezy.png

[JulianM]

OIM 2011 - Amsterdam

http://img801.imageshack.us/img801/3614/image1on.png

http://img811.imageshack.us/img811/4624/image2zkt.png

http://img163.imageshack.us/img163/4793/image5g.png

Timp de lucru: 4 ore și 30 de minute (în fiecare zi de concurs)
Fiecare problemă este notată cu 7 puncte

http://img225.imageshack.us/img225/5071/image6ix.png

IMO-Official.Org (http://www.imo-official.org/team_r.aspx?code=ROU&year=2011)

[JulianM]

Tocmai ce scrisei (repede) schița soluției la o problemă cunoscută (postată probabil de un elev) ...

http://oi51.tinypic.com/14smm8.jpg

[Georgian@]

....algorithm perfect de hashing :)

In Joy!

[marian42]

Problema, Gogule?
:calcul:

http://i57.photobucket.com/albums/g240/musashi1643/problema.jpg